El tamaño de un grafo sin subgrafos homeomorfos a un grafo completo

Abstract

"Desde el origen de la Teoría de Grafos Extremales, uno de los problemas más generales que pueden plantearse en este campo, es estudiar los grafos de manera que podamos encontrar condiciones para que contengan o no a un subgrafo dado. Es en este sentido donde podemos encuadrar los objetivos de esta Tesis.Concretamente, nos va interesar el estudio de la función ex (n; TKp), es decir, el número máximo de aristas de un grafo de orden n para que no contenga a un subgrafo homeomorfo al grafo completo de orden p. A su vez, como en todo problema extremal, resulta interesante caracterizar los grafos maximales para la propiedad anterior, esto es lo que se conoce como familia de grafos extremales. Una pequeña variación del problema anterior nos conduce al análisis paralelo de la función ex (n; TK-p).Por otra parte, el estudio de problemas extremales, como los anteriores descritos, cuando el orden de los grafos estudiados es suficientemente grande, conduce de forma natural a plantearse el problema para grafos infinitos. Claro está, que para grafos infinitos, carece de sentido estudiar el número de aristas frente al número de vértices por ser, en general, ambos infinitos. Intentamos dar solución a este problema introduciendo el concepto de valencia media de un grafo infinito como límite de las valencias medias de una sucesión creciente de grafos finitos que lo recubren. Esto, nos permite abordar el problema extremal, relacionado con la contención de subgrafos homeomorfos a un grafo completo, para grafos infinitos en función de la valencia media, así como, establecer las relaciones con el correspondiente problema para el caso finito."