Linear and algebraic structures in function sequence spaces

Abstract

Historically, many mathematicians of all ages have been attracted and fascinated by the existence of large algebraic structures that satisfy certain properties that, a priori, contradict the mathematical intuition. The aim of the present Dissertation is the study of the lineability of certain families of sequences of functions with very specific properties. The Dissertation is divided in 6 chapters, where Chapters 1, 2 and 3 focus on introducing the basic notation and main terminology of the theory of Lineability and modes of convergence that will be used along this Dissertation. In Chapter 4 we begin with the study of the algebraic size of two families of sequences of functions with different modes of convergence in the closed unit interval [0, 1]: convergence in measure but pointwise almost everywhere and pointwise but not uniform convergence. In Chapter 5 we focus our attention on the setting of (Lebesgue) integrable functions. We start with sequences of integrable functions with different modes of convergence in comparison to the L1-convergence, and finish the chapter with the algebraic size of the family of unbounded, continuous and integrable functions on [0, +∞) and sequences of them. Finally, in Chapter 6 we turn into the setting of series of functions, obtaining positive results about the linear and algebraic size of the family of sequences of functions whose series converges absolutely and uniformly but does not verify the hypothesis of the Weierstrass M-test.

Hist´oricamente han sido muchos los matem´aticos de todas las ´epocas que se han sentido atra´ıdos y fascinados por la existencia de grandes estructuras algebraicas que satisfacen ciertas propiedades que, a priori, pueden contradecir a la intuici´on matem´atica. El objetivo de la presente Memoria es el estudio de la lineabilidad de diversas familias de sucesiones de funciones con propiedades muy espec´ıficas. La Memoria se divide en 6 cap´ıtulos, donde los Cap´ıtulos 1, 2 y 3 se centran en introducir la notaci´on b´asica y la terminolog´ıa principal de la teor´ıa de la Lineabilidad y de los modos de convergencia que usaremos a lo largo de esta Memoria. En el Cap´ıtulo 4 comenzamos el estudio del tama˜no algebraico de dos familias de sucesiones de funciones con distintos modos de convergencia en el intervalo unidad cerrado [0, 1]: convergencia en medida pero no puntual en casi todo y convergencia puntual pero no uniforme. En el Cap´ıtulo 5 centramos nuestra atenci´on en el marco de las funciones integrables (Lebesgue). Comenzamos con sucesiones de funciones integrables y distintos modos de convergencia en comparaci´on con la convergencia en norma L1, y finalizamos el cap´ıtulo con el tama˜no algebraico de las familias de funciones no acotadas, continuas e integrables en [0, +∞), y las sucesiones de ellas. Finalmente, en el Cap´ıtulo 6 trabajamos en el ´ambito de las series de funciones, obteniendo resultados positivos sobre el tama˜no lineal y algebraico de la familia de sucesiones de funciones cuya serie asociada converge uniformemente pero no verifica las hip´otesis del Criterio M de Weierstrass.