Mixturas de distribuciones: Modelización de experiencias con asimetría en los datos

Abstract

Una de las estrategias de la Estadística para describir y explicar una realidad compleja es la representación de la misma mediante modelos probabilísticos. En esta línea se enmarca la presente memoria, teniendo como principal objetivo la modelización de fenómenos aleatorios a través de mixturas finitas de distribuciones. En concreto, aquellas experiencias aleatorias con asimetría en los datos. Inicialmente, esta memoria surge tratando de abordar un problema real al que se tiene que enfrentar la gestión de hospitales y servicios de salud para programar y financiar adecuadamente los mismos. El estudio del tiempo de hospitalización de los pacientes, variable conocida como “estancia hospitalaria”. La estancia hospitalaria es un índice del consumo de recursos ampliamente utilizado en la gestión hospitalaria. En particular, se utiliza en la dirección, planificación y control de calidad del servicio. Usualmente los datos observados de esta variable presentan asimetría positiva, por ello, tradicionalmente se han utilizado modelos Lognormal, Gamma y Weibull. En esta perspectiva, Marazzi y otros, presentan criterios para decidir sobre cual de los tres modelos anteriores representar mejor la variable citada. En esta memoria, se pretende ampliar el estudio a través de un modelo más general basado en mixturas finitas de distribuciones, en particular, de las distribuciones antes citadas. El modelo consiste en una mixtura de tres componentes pertenecientes a cada una de las tres familias. Este modelo de “mixturas mixtas” proporciona una flexibilidad extra necesaria cuando una sola de las familias no conduce a una explicación satisfactoria de la realidad. Conviene resaltar que, además de la gestión hospitalaria, existen otras muchas situaciones reales descritas por variables que se debaten entre la modelización por alguna de las tres distribuciones: lognormal, Gamma o Weibull. Para ilustras esta aplicación, a continuación se recogen algunas de ellas: Microbiología: Estudio de las posibles consecuencias de la preparación de comidas en ciertos patógenos alimenticios. Neurología: Estudio de la actividad de las neuronas. Veterinaria: Estudio de la duración de viremias en ganado vacuno. Mecánica: Estudios de resistencia de materiales. Meteorología: Concentración de vapor de agua en las nubes y en el estudio de pluviometría. Geología: Estudio de los tamaños de las partículas de sedimentos fluviales. Geofísica: Estudio de las frecuencias de terremotos de cierta magnitud. Epidemiología: Estimación del periodo de incubación del SIDA. La memoria se ha estructurado de la siguiente forma: En el primer capítulo se recogen definiciones, propiedades y conceptos necesarios para el desarrollo de la misma. Se presentan las distribuciones objeto de estudio con algunas de sus características. También, se introduce la modelización mediante mixturas de distribuciones. Se revisa el método de estimación de máxima verosimilitud, poniendo de manifiesto sus propiedades y recogiendo condiciones suficientes para que las mismas se verifiquen. Se finaliza este capítulo con el estudio de un procedimiento iterativo, ampliamente utilizado en el área de las mixturas, para el cálculo de los estimadores de máxima verosimilitud de los diferentes parámetros: el algoritmo EM. En el segundo capítulo se estudian condiciones suficientes que permitan comprobar la identificabilidad de experimentos modelizados a través de mixturas finitas de distribuciones. Dado que los resultados existentes sobre identificabilidad de mixturas no son aplicables al modelo bajo estudio en esta memoria, se propone un nuevo resultado que relaja las condiciones de resultados propuestos en la literatura sobre el tema. El capítulo finaliza con la comprobación de la identificabilidad de distintas familias de mixturas, mediante este nuevo resultado. Para comprobar que en el conjunto de mixturas mixtas de las familias Lognormal, Gamma y Weibull, las soluciones de las ecuaciones de verosimilitud cumplen las condiciones de consistencia (recogidas en el Capítulo 1), en el tercer capítulo se proponen algunos resultados que facilitan la verificación de dichas condiciones para las mixturas de uniones de ciertas familias paramétricas de funciones de densidad como son las familias exponenciales y otro tipo de familias más generales que incluyen a las distribuciones Weibull. Por último, el Capítulo 4 aborda el problema de la estimación de máxima verosimilitud de los parámetros del modelo presentado, a través de la aplicación del algoritmo EM. Asimismo, se estudian los elementos necesarios para la aplicación de dicho algoritmo y un método de aceleración del mismo. A continuación, se presenta un conjunto de simulaciones del modelo con el objetivo de ilustrar la validez de las técnicas propuestas en esta memoria. Este capítulo se concluye con la aplicación a conjuntos de datos reales de la variable estancia hospitalaria.