Derivaciones de Hasse-Schmidt, cuerpos de coeficientes y extensión de escalares en característica positiva

Abstract

Una de las diferencias más notables entre el Álgebra de característica positiva y el Álgebra de característica cero radica en el comportamiento respecto de los métodos, operaciones y estructuras diferenciales. Por ejemplo, si k es un cuerpo de característica cero y R = k[[x1,…, xn]] es el anillo de las series formales (o convergentes en el caso en que k sea el cuerpo de los números reales o complejos), k coincide con el conjunto de las series que son anuladas por las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables xi, o más generalmente k = {a ϵ R | ∂i (a) = 0, i = 1,…, n}, donde las ծ1 son unas k-derivaciones de R para las que existen unas series aj ϵ R con ∂1(aj) = бij. Esto se debe a un que dichas ∂1 forman una base del R-módulo de todas las k-derivaciones de R (véase el teorema IVA.2). En particular, el cuerpo de las “constantes” aparece como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en derivadas parciales particularmente sencillo. De hecho, el teorema de estructura de Cohen nos permite enunciar el resultado anterior para un anillo local completo regular de característica cero R y k c R un cuerpo de coeficientes, con independencia de las coordenadas locales (corolario IV-A.5). los resultados anteriores han de entenderse como una versión parcial y puramente algebraica del Lema de Poincaré. En el caso en que k sea un cuerpo de característica p > 0, el resultado anterior no es cierto, pues todas las series de la forma a(x1,…,xn) = b(x_1^p,…,x_n^p), con b ϵ R, son anuladas por las derivadas parciales respecto de las x1. Para recuperar un resultado análogo al que se tiene en característica cero, es necesario recurrir a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y de infinitas ecuaciones, cuyo tratamiento se simplifica notablemente con la noción de derivación de Hasse-Schmidt [HS37] (ver también [NaK70], [Mat86], [Tra00]). En esta memoria nos ocupamos de estudiar las derivaciones de Hasse-Schmidt, de algunas de sus relaciones con los anillos de operadores diferenciales lineales, y de su uso en la determinación de cuerpos de coeficientes de anillos locales regulares completos de característica positiva. Una de las motivaciones de esta memoria se encuentra en la extensión al caso de un cuerpo base de característica positiva de los resultados del trabajo [Nar91]. El capítulo 1 está dedicado, en primer lugar, a recordar algunos resultados generales para la conveniencia del lector y que serán usados a lo largo de la memoria. Así, recordamos la noción de derivación de Hasse-Schmidt de una k-algebra ([HS37], [NaK70]), como noción puramente algebraica que generaliza la de derivación de un anillo conmutativo. Hemos recopilado algunos resultados de los trabajos [Mat86], [Mat82], [Ish77], [NaK70], y en algunos casos que consideramos oportunos incluimos sus demostraciones. En particular destacamos la relación existente entre las derivaciones de Hasse-Schmidt y el desarrollo de Taylor (cf. [MV69]), cuya filosofía la podemos resumir gráficamente en que, a pesar de las apariencias, “no es necesario dividir por los factoriales”. Recordamos también el concepto de operadores diferenciales lineales sobre una k-álgebra A. La referencia básica utilizada es [GD67], en donde se presenta una definición recursiva, respecto del orden, de los operadores diferenciales lineales. Dicha definición nos muestra directamente su estructura algebraica: se trata de un anillo (para la suma y composición de operadores), filtrado (por el orden de los operadores), no conmutativo en general, cuyo graduado sí es conmutativo. A continuación examinamos la relación entre las derivaciones de Hasse-Schmidt y los operadores diferenciales lineales, así como el caso fundamental de los anillos de polinomios y de series formales. Por último, estudiamos las propiedades de extensión a los completados, a los anillos de polinomios y a los anillos de fracciones. En el capítulo 2, ofrecemos una demostración del lema de normalización para el anillo de series de potencias formales A = k[[X]], con k cuerpo perfecto de característica p > 0, que es una adaptación de la que se encuentra en [Abh64], (23.7) y (24.5). la prueba de loc. cit. usa cambios de coordenadas lineales y necesita que el cuerpo k sea infinito. Nuestra adaptación (teorema II-A.6), es válida para un cuerpo de no lineales como los del lema II-A.4. En el capítulo 3, estudiamos la conservación de la noetherianidad mediante la extensión del cuerpo base k → k(∞) := k(t)per, donde k es un cuerpo perfecto y k(t)per es la clausura perfecta de k(t). Nuestro principal resultado caracteriza cuando el anillo A(∞) := A Ⓧk K(∞) = A Ⓧk kper(t) es noetheriano, y como consecuencia probamos que el anillo A(∞) es noetheriano cuando A es el anillo de series formales en n indeterminadas sobre k (corolario III-C.8). Además, probamos que el mayor subcuerpo perfecto de un cuerpo de funciones formales sobre k, es una extensión finita del cuerpo de constantes k (teorema III-B.8). Una versión más débil del resultado anterior, que dicha extensión es algebraica (proposición III-B.6), es uno de los ingredientes de la prueba de la caracterización de la conservación de la noetherianidad que acabamos de mencionar. En el capítulo 4, determinamos cuerpos de coeficientes del anillo completado de un anillo noetheriano, local, regular, equicaracterístico de característica positiva, mediante una generalización del teorema 99 de [Mat80] al caso de derivaciones de Hasse-Schmidt (teorema IV-A.10). Dicha generalización utiliza, como herramienta fundamental, el teorema IV-A.6, que nos permite generar derivaciones de Hasse-Schmidt a partir de unas fijas, siempre que sus componentes de grado uno formen un sistema de generadores de las k-derivaciones de nuestro anillo. Este último resultado, sugiere un estudio en profundidad de estructuras algebraicas no lineales sobre las derivaciones de Hasse-Schmidt. Por último, en el capítulo 5, generalizamos el teorema 2.3 del trabajo [Nar91] al caso del anillo R = k[[X1,…,Xn]], siendo k un cuerpo perfecto de característica p > 0. Para ello consideramos la extensión de escalares R → R Ⓧk k(t)per = R(∞), donde k(t)per = ⋃_(m≥0)▒〖k (tp 1/m〗) es el cierre perfecto de k(t) y t es trascendente sobre k. Por el capítulo 3, sabemos que R(∞) es un ideal maximal y K es su cuerpo residual, construimos un isomorfismo de Cohen explícito K[[Y1,…Yn]] ≅ ((R(∞))m) ̂ de manera que las extensiones de las k-derivaciones de Hasse-Schmidt de R a este último anillo correspondan a K-derivaciones del primero. Dicho de otra forma, encontramos un cuerpo de coeficientes del anillo local completo ((R(∞))m) ̂, donde se anulan las extensiones de Hasse-Schmidt de R. Es más, dicho cuerpo de coeficientes está formado justamente por aquellos elementos anulados por las citadas extensiones.