Analytical study of a hovering magnetic system (Levitron)

Abstract

El objetivo de este proyecto es llevar a cabo un estudio analítico del sistema de levitación magnética, conocido como Levitron. En primer lugar, se va a empezar haciendo una introducción explicando el funcionamiento del juguete, los elementos típicos que conforman el kit para jugar y su historia. En el capítulo 2 comienza el estudio analítico: se empieza describiendo el movimiento de la peonza como sólido libre, en ausencia de campo magnético externo y sometida únicamente a la acción de la gravedad, utilizando los ángulos clásicos de Euler. Sin embargo, veremos que el uso de estos ángulos produce una singularidad que nos obligará a presentar, en el capítulo 3, los ángulos de Tait-Byan para solucionarlo. En el capítulo 4 obtenemos las expresiones del campo magnético creado por la base, y en el capítulo 5 enunciamos el Teorema de Earnshaw y se estudia la estabilidad estática del sistema por medio de su energía potencial. En el capítulo 6, se obtienen las ecuaciones de movimiento utilizando la mecánica vectorial, y en el capítulo 7 se obtienen las ecuaciones del sistema empleando la formulación Lagrangiana y Hamiltoniana de la mecánica analítica. Una vez obtenidas las ecuaciones, se introducen variables adimensionales en el capítulo 8 para llevar a cabo la simulación numérica de los posteriores apartados. En el capítulo 9 estudiamos la estabilidad lineal del sistema, obteniendo la región de estabilidad en la que es posible la levitación y los modos normales de movimiento. En el capítulo 10, analizamos el acoplamiento lineal y no lineal y simulamos numéricamente la trayectoria considerando distintas condiciones iniciales que intentan reproducir situaciones reales que se dan a la hora de jugar. En el capítulo 11 presentamos las constantes de movimiento del sistema, y en el capítulo 12 se elabora un sencillo modelo para tener en cuenta el efecto de la fricción del aire sobre la peonza. Finalmente, en el capítulo 13 se añaden algunas instrucciones para dominar el juguete y se adjunta un diagrama de flujo donde se describen las situaciones habituales a las que un jugador se enfrenta cuando intenta hacer levitar la peonza. Por último, se adjuntan tres anexos: el primero contiene el ajuste experimental del campo magnético en el eje 01; el segundo está dedicado a los cuaterniones, incluyendo las propiedades más importantes y el sistema con las ecuaciones de movimiento en término de los parámetros de Euler; y en el tercero, se estudia la dinámica de tres sistemas que guardan analogías con el sistema de levitación magnética.

The scope of this project is to perform an analytical study of the hovering magnetic system, known as Levitron. Firstly, we will start with an introduction where we explain how the toy works, the typical elements of the kit and its history. In chapter 2, the analytical study starts: we begin describing the free motion, in absence of the external magnetic field and solely submitted to the action of gravity, using the Classic Euler angles. Nevertheless, the use of these angles leads to a singularity that we need to avoid, so in chapter 3 we present the Tait-Bryan angles to solve this problem. In chapter 4 we obtain the expressions for the magnetic field generated by the base, and in chapter 5 we outline Earnshaw’s Theorem and study the static stability by means of the potential energy of the system. In chapter 6, we derive the equations of motion using vector mechanics, and in chapter 7 the same is done using the Lagrangian and Hamiltonian formulation of the analytical mechanics. Once the equations of the system are obtained, we define nondimensional variables in chapter 8 to perform the numerical simulations. In chapter 9 we study the linear stability of the system, obtaining the stability region for which stable hovering is possible and the normal modes. In chapter 10 we analyze the linear and nonlinear coupling, and numerically simulate the trajectory of the spinning top considering different initial conditions that reproduce real situations when one plays with the toy. In chapter 11, we present the constants of the motion of the system, and in chapter 12 a simple model considering air friction is shown. Finally, chapter 13 contains some instructions to master the toy and we attach a flowchart where we describe the usual situations that a player has to face to achieve levitation. Lastly, we include three addendums: the first contains the experimental adjustment of the magnetic field generated by the base in the 0�����1 axis; the second is dedicated to the quaternions, containing the main properties of its algebra and the set of equations of the system in terms of the Euler parameters; and finally, in the third we study the dynamics of three systems that share some of the characteristics of the hovering magnetic device.