Un método de elementos finitos incondicionalmente estable en norma uniforme para resolver las ecuaciones de Euler 2D

Abstract

Este trabajo presenta dos algoritmos de tipo transporte e interpolación con Elementos Finitos para la resolución numérica de las ecuaciones de Euler para flujos incompresibles bidimensionales en todo el espacio IR2. En la primera versión de nuestro algoritmo, la vorticidad es discretizada mediante elementos finitos triangulares de primer grado. En la segunda, mediante elementos finitos triangulares de segundo grado. La velocidad se obtiene en ambos casos calculando exactamente el producto de convolución del núcleo de Biot-Savart con una aproximación lineal a trozos sobre cada triángulo de la vorticidad discreta. Se prueba que el primer algoritmo es incondicionalmente estable y convergente con una precisión de primer orden, en norma uniforme. Sin embargo, en la práctica la precisión alcanzada resulta escasa, debido a la difusión numérica introducida en el paso de interpolación. En el caso del segundo algoritmo, los ensayos numéricos muestran un notable incremento de la precisión, incluso para tiempos largos. Sin embargo, en este caso el algoritmo deja de ser estable en norma uniforme.

We introduce two Finite Element transport-interpolation algorithms to solve the twodimensional Euler equations in the wole R2. In the first of these algorithms, the vorticity is discretized with triangular finite elements of degree one, and of degree two in the second one. The velocity is computed by convolution of the Biot-Savart kernel with a piecewise affine interpolate of the vorticity. We prove that the first algorithm is unconditionally stable in uniform norm, with first order accuracy. However, in practice its precision is rather low, due to the numerical diffusion introduced in the interpolation step. The second algorithm is shown numerically to produce a remarkable increase of precision, even for long integration times. However, in this case the algorithm is no longer stable in uniform norm.