Null and approximate controllability for weakly blowing up semilinear heat equations

Abstract

We consider the semilinear heat equation in a bounded domain of Rd , with control on a subdomain and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We prove that the system is null-controllable at any time provided a globally defined and bounded trajectory exists and the nonlinear term f(y) is such that |f(s)| grows slower than |s|log3/2(1+|s|) as |s|→∞ . For instance, this condition is fulfilled by any function f growing at infinity like |s|logp(1+|s|) with 1<p<3/2 (in this case, in the absence of control, blow-up occurs). We also prove that, for some functions f that behave at infinite like |s|logp(1+|s|) with p>2 , null controllability does not hold. The problem remains open when f behaves at infinity like |s|logp(1+|s|) , with 3/2≤p≤2 . Results of the same kind are proved in the context of approximate controllability.

On considère l'équation de la chaleur semilinéaire dans un domaine borné de Rd , avec un contrôle à support dans un sous-domaine et avec des conditions de Dirichlet au bord. On démontre que, s'il existe une trajectoire bornée et globalement définie et le terme non linéaire f(y) est tel que |f(s)| croı̂t moins vite que |s|log3/2(1+|s|) quand |s|→∞ , alors le système est exactement contrôlable à zéro dans un temps arbitrairement petit. Par exemple, cette condition sur f est satisfaite si f(s) croı̂t à l'infini comme |s|logp(1+|s|) avec 1<p<3/2 (dans ce cas, en absence de contrôle, on a explosion en temps fini). On démontre aussi que, pour tout p>2 , on n'a pas la contrôlabilité exacte à zéro pour certaines fonctions f dont le comportement à l'infini est comme celui de |s|logp(1+|s|) . Cette question reste ouverte lorsque 3/2≤p≤2. Finalement, on démontre des résultats du même type dans le contexte de la contrôlabilité approchée.