Formalización de diversos aspectos de la teoría de redes eléctricas lineales: aplicación al estudio de las redes simétricas

Abstract

Esta tesis incluye una revisión de conceptos básicos de la teoría de redes eléctricas lineales, una definición formal de simetría de la red y la obtención de redes de secuencia empleando componentes simétricas (caso polifásico general). El objeto de esta Tesis es la formalización de diversos aspectos de la teoría de redes eléctricas lineales con dispositivos de dos terminales, con particular aplicación a las redes con simetría cíclica. Esta formalización se entiende como el establecimiento de los conceptos básicos de la teoría que permitan posteriormente una demostración formal de los principales resultados mediante la utilización de los instrumentos matemáticos habituales. Históricamente, la teoría de grafos de redes eléctricas se ha desarrollado como una trasposición de la teoría de grafos lineales (diagramas de líneas y puntos). En algunos casos tal trasposición es muy forzada, ya que en general dicha teoria no preve la existencia de lazos ni de una multiplicidad de aristas con los mismos nudos extremos. Ese es uno de los motivos que exigen una teoría específica de grafos de redes eléctricas. Por otra parte, los resultados básicos de la teoría de grafos son fácilmente intuibles y ello lleva a veces a tomar como demostraciones cosas que no son sino siomples descripciones, lo cual a su vez dificulta la obtención de resultados menos inmediatos. La primera parte de esta Tesis tiene pues como finalidad el establecimiento de los conceptos y de los resultados formales básicos de la teoría de grafos de redes eléctricas con dispositivos de dos terminales. Estos conceptos se desarrollan con la mayor generalidad (grafos no conexos, con aristas en parelelo, es decir, con los mismos nudos extremos, y con lazos). Para definir las matrices asociadas al grafo se introducen los conceptos de vector y matriz con índices en un alfabeto arbitrario, que evitan el recurso habitual a la reordenación de filas o columnas y permiten definir fácilmente particiones vectoriales y matriciales. Igualmente las variables asociadas a la red (tensiones e intensidades) se definen con la mayor generalidad. A partir de los conceptos anteriores se formulan las leyes de Kirchoff y las ecuaciones primarias que definen los dispositivos que constituyen la red. La formulación adoptada es apropiada tanto para el régimen estacionario no senoidales e incluso para redes lineales de parámetros variables en función del tiempo. Se hace un breve excurso sobre las relaciones causales entre las diversas señales asociadas a la red. Se define formalmente la simetría de la red, se definen y analizan las redes simétricas en régimen equilibrado y la descomposición de un régimen no equilibrado en una suma de regímenes equilibrados. Por último, se establece la red monofásica equivalente o red de secuencia de una red simétrica en régimen equilibrado, cuyo grafo se relaciona con el grafo de la red original mediante diversos morfismos de grafos.