A posteriori error analysis for two non-overlapping domain decomposition techniques

Abstract

This paper is devoted to the construction of fast solvers for penalty domain decomposition techniques, based upon a posteriori error analysis. We introduce a penalty non-overlapping domain decomposition method (ddm) motivated by the a posteriori error analysis of the method proposed by Chacón and Chacón in [T. Chacón Rebollo, E. Chacón Vera, A non-overlapping domain decomposition method for the Stokes equations via a penalty term on the interface, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1–16]. In the new method a penalty term replaces the L2(Γ) one in the original method. The number of iterations needed by the new ddm to yield a solution with an error of the same order as the discretization error is remarkably reduced. We develop an a posteriori error analysis that we use to determine an optimal value of the penalty parameter for a given grid, and also to jointly determine an optimal grid and a penalty parameter to reduce the error below a targeted value. Several numerical tests for model problems exhibit the good performances of our approach and provide to a numerical comparison of the two penalty methods.

Cet article a pour but la construction de solveurs rapides pour les techniques de décomposition de domaine avec pénalisation et repose sur une analyse a posteriori. Nous introduisons une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement, issue de l’analyse a posteriori de la méthode proposée par Chacón et Chacón [Chacón Rebollo, T., Chacón Vera, E., A non-overlapping domain decomposition method for the Stokes equations via a penalty term on the interface. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 334, Série I; pp. 1–16, 2002.6], où une pénalisation de type H 1/2 00 (Γ) remplace celle de type L2 (Γ) dans la première méthode. Le nombre d’itérations pour une erreur du mème ordre que l’erreur de discrétisation est considérablement réduit. Nous prouvons des estimations d’erreur a posteriori qui permettent d’optimiser le choix du paramètre de pénalisation pour une grille donnée, et aussi lors de l’adaptation de maillage. Plusieurs expériences numériques sur des problèmes académiques montrent les bonnes performances de notre approche et permettent une comparaison numérique des deux méthodes.