Desigualdades variacionales casilineales elípticas con crecimiento natural en el gradiente

Abstract

Nuestro objetivo es estudiar la existencia de solución positiva w ∈ H1 0 (Ω) de alguna desigualdad variacional con una no linealidad singular cuyo modelo típico es w(x) ≥ ψ(x) a.e. x ∈ Ω |∇w| 2 w ∈ L 1 loc(Ω), |∇w| 2 w (w − ψ +) ∈ L1 (Ω) Z Ω ∇w∇(v − w) + Z Ω |∇w| 2 w (v − w) ≥ Z Ω a(x)(v − w), ∀v ∈ K1

donde Ω es un conjunto abierto y acotado en R N (N ≥ 3), ψ ∈ W1,p(Ω) (p > N) tal que ψ + ∈ H1 0 (Ω) ∩ L∞(Ω), a ∈ L q (Ω) con q > N/2 es una función estrictamente positiva y el conjunto de las funciones test K1 consta de las funciones v ∈ H1 0 (Ω) ∩ L∞(Ω) tal que v(x) ≥ ψ(x) a.e. x ∈ Ω y supp (v − ψ +) ⊂⊂ Ω. Consideramos tambi´en clases más amplias de funciones test además del caso en el cual la inecuación variacional se reduce a una ecuación.