Análisis numérico de soluciones autosemejantes de un flujo dispersivo de curvas planas

Abstract

En [2] G. Perelman, L. Vega, Self-similar planar curves related to modified Korteweg-de Vries equation, To appear in J. of Diff. Eqns, Perelman y Vega estudian el siguiente flujo geoméetrico de curvas planas reversible en el tiempo, que puede desarrollar singularidades en tiempo finito    zt = −zsss + 3 / 2 z¯sz 2 ss, |zs| 2 = 1, t 6= 0. (1) con s el parámetro de arco. Denotando por k la curvatura de z, esta satisface la mKdV kt + ksss + 3 / 2 k2 ks = 0. (2) Perelman y Vega consideran soluciones autosemejantes de (2) de la forma k(s, t) = 2 (3t) 1/3 u µ s (3t) 1/3 ¶ , t > 0; (3) lo cual conduce a estudiar la EDO uxx − xu + 2u 3 = µ, x ∈ R, µ ∈ R. (4) En esta comunicaci´on, consideraremos µ = 0. Aunque necesitamos conocer u(0) y ux(0), para resolver (4), imponiendo limx→∞ u(x) = 0, los datos iniciales para (4) forman una familia uniparamétrica, que obtendremos numéricamente. Además, daremos evidencia numérica de que las soluciones de (4) correspondientes satisfacen − π 2 ≤ Z ∞ −∞ u(x)dx ≤ π 2 . (5) Por (3), a cada u le corresponde un dato inicial z para (1) en t = 1. Considerando datos iniciales sin intersecciones, mostraremos numéricamente su evolución, así como la formación de una singularidad en t = 0.