Evolution of Navier-Stokes and Euler vortex filaments

Abstract

Understanding the Euler and Navier-Stokes equations is essential for the mathematical development of fluid mechanics, as they serve as pillars for various models within this field. On the other hand, the study of vortex filaments is motivated by their resemblance to some phenomena in nature, but our current knowledge about them is limited. Part of the difficulty in the mathematical study of these structures lies in their singularity. In particular, the energy around the filament and the effective velocity on it are infinite, making the formulation of their evolution a non-trivial problem. The results found in the literature regarding this matter require smallness in the data or time of existence, some form of symmetry, modifications to the equations, or regularization of the initial data. As a result, the study of vortex filaments in the Euler and Navier-Stokes equations is a hot topic in the literature.

This thesis is devoted to the development of two new results on vortex filament dynamics. In chapter 1, the Euler and Navier-Stokes equations are introduced. This is followed by considerations on vortex filaments, while reviewing the existing literature on the subject.

The chapter 2 is based on the submitted paper [52]. In it, the Cauchy problem of a helical vortex filament in the Navier-Stokes equations is studied. Specifically, we prove the global-in-time existence, uniqueness and regularization of solutions for this problem. Since the Navier-Stokes equations do not preserve the null helical swirl, this is the first global-in-time existence result for vortex filaments without size restriction in the presence of vortex stretching. To obtain such a result, it is first shown that the evolution of periodic vortex filaments in one direction is well-posed for short times. Next, it is proved that if the vortex filament is initially helical, then the solution obtained is also helical. In general, as occurs in two dimensions, a vorticity with helical symmetry generates a slowly decaying velocity with infinite energy. By adapting results from local energy weak solutions, together with a new estimate using helical symmetry in non-helical domains, we show that the solution obtained for short times can be uniquely extended globally in time while keeping the symmetry.

The chapter 3 is based on the submitted paper [53]. In it, the Cauchy problem of a circular vortex filament in the Euler equations is studied. Specifically, the first existence result of weak solutions to the Euler equations with velocity in C([0, T], L2−) is obtained. With our approach, there is no need to regularize the initial data or rescale the time variable, as it is usual in the literature. By applying convex integration, a solution with finite and decreasing energy is obtained for positive times, with vorticity supported inside a ring that moves and thickens with time. After simplifying the system using axisymmetric coordinates without swirl, a subsolution with the desired properties is constructed. The proof concludes with an adaptation of the h-principle to a function space that includes the vortex filament as initial data.

La comprensión de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes es esencial para el desarrollo matemático de la mecánica de fluidos, ya que sirven como pilares de diversos modelos dentro de este campo. Por otra parte, el estudio de filamentos de vorticidad viene motivado por su semejanza con algunos fenómenos en la naturaleza, pero nuestro conocimiento actual sobre ellos es limitado. Parte de la dificultad del estudio matemático de este tipo de estructuras es su singularidad. En particular, la energía alrededor del filamento y la velocidad efectiva sobre el mismo son infinitas, haciendo que plantear su evolución sea un problema no trivial. Los resultados que se encuentran al respecto en la literatura requieren pequeñez en el dato o tiempo de existencia, algún tipo de simetría, modificaciones en las ecuaciones, o regularización del dato inicial. Es por ello que el estudio de filamentos de vorticidad en las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes es un tema candente en la literatura.

Esta tesis se centra en el desarrollo de dos nuevos resultados de dinámica de filamentos de vorticidad. En el capítulo 1, se introducen las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes. A continuación, se abordan consideraciones sobre los filamentos de vorticidad, al tiempo que se revisa la literatura existente sobre el tema.

El capítulo 2 se basa en el artículo [52]. En él, se estudia el problema de Cauchy de un filamento de vorticidad helicoidal en las ecuaciones de Navier-Stokes. Concretamente, se demuestra la existencia global en tiempo, unicidad y regularización de soluciones para este problema. Dado que las ecuaciones de Navier-Stokes no mantienen el swirl helicoidal nulo, este es el primer resultado de existencia global en tiempo de filamentos de vorticidad sin restricción de talla en presencia de vortex stretching. Para obtener dicho resultado, en primer lugar se demuestra que la evolución de filamentos de vorticidad periódicos en una dirección está bien propuesto a tiempo corto. A continuación, se comprueba que si el filamento de vorticidad es inicialmente helicoidal, entonces la solución obtenida mantiene la simetría. En general, al igual que ocurre en dos dimensiones, una vorticidad con simetría helicoidal genera una velocidad que decae lentamente y tiene energía infinita. Adaptando resultados de soluciones débiles con energía localmente finita, junto con una nueva estimación que utiliza la simetría helicoidal en dominios no helicoidales, se demuestra finalmente que la solución obtenida a tiempo corto se puede extender globalmente en tiempo de forma única manteniendo la simetría.

El capítulo 3 se basa en el artículo [53]. En él, se estudia el problema de Cauchy de un filamento de vorticidad circular en las ecuaciones de Euler. Concretamente, se obtiene el primer resultado de existencia de soluciones débiles a las ecuaciones de Euler con velocidad en C([0, T], L2−). Gracias a un nuevo enfoque, no hay necesidad de regularizar el dato inicial o reescalar la variable temporal, como es habitual en la literatura. Utilizando integración convexa, se obtiene una solución con energía finita y decreciente para tiempos positivos, con vorticidad soportada dentro de un anillo que se mueve y ensancha con el tiempo. Tras simplificar el sistema usando coordenadas axisimétricas sin swirl, se construye una subsolución con las propiedades deseadas. La prueba concluye con una adaptación del hprincipio a un espacio de funciones que incluye el filamento de vorticidad como dato inicial.