Representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas

Abstract

J.P Serre made, in his article ’Proprietes galoisiénnés des points d’ordre fini des courbes elliptiques’ published in 1972 [9], an study about the image of Galois representations attached to the 𝑙��-torsion points of elliptic curves without complex multiplication defined over a number field. The purpose of this project is to develop the tools needed to understand the mentioned article and to present most of the results presented on it. We will pay special attention to the image of representations attached to the 𝑙��-torsion of an elliptic curves defined over a local field. Lastly, we will present the main theorem of the article and the main ideas of its proof. Teorema 0.1. Let 𝐸�� be an elliptic defined over a number field 𝐾��, without complex multiplication over 𝐾��. Then, for almost every prime 𝑙��, the representation 𝜌��𝑙�� ∶ Gal(𝐾��∕𝐾��) ←→ Aut(𝐸��[𝑙��]) ≃ GL2(𝔽��𝑙��) attached to the 𝑙��-torsión points is surjective.

J.P. Serre realizó, en su artículo ’Proprietes galoisiénnés des points d’ordre fini des courbes elliptiques’ publicado en 1972 [9], un estudio de las imágenes de las representaciones de Galois del grupo los puntos de 𝑙�-torsión de una curva elíptica sin multiplicación compleja definida sobre un cuerpo de números. El propósito de este trabajo es desarrollar las herramientas y resultados necesarios para comprender dicho artículo, así como exponer los detalles de muchos de los resultados que se presentan en este. Prestaremos especial atención al estudio de la imagen de las representaciones de Galois asociadas a los puntos de 𝑙�-torsión de una curva elíptica definida sobre un cuerpo local. Por último, presentaremos el resultado principal del artículo, junto con las ideas principales de la prueba. Dicho resultado es: Teorema 0.2. Sea 𝐸� un curva elíptica definida sobre un cuerpo de números 𝐾�, sin multiplicación compleja sobre 𝐾�. Entonces, para todo 𝑙� primo, salvo para un número finito, la representación 𝜌�𝑙� ∶ Gal(𝐾�∕𝐾�) ←→ Aut(𝐸�[𝑙�]) ≃ GL2(𝔽�𝑙�) asociada a los puntos de 𝑙�-torsión es sobreyectiva.