Análisis en Espacios Métricos

Abstract

En la memoria expuesta a continuación, queremos hacer una revisión de las funciones de variación acotada en distintos espacios. Comenzaremos las funciones de variación acotada en un intervalo cerrado y acotado de R. A partir de ellas, podremos generalizar este concepto a funciones definidas en un abierto de R. En el segundo capítulo, estudiaremos las funciones de variación acotada en un abierto de Rd. Para definirlas, nos apoyaremos en la idea de derivada débil y los espacios de Sobolev. El Teorema de Representación de Riesz nos caracterizará la derivada de estas funciones en el sentido de las distribuciones. Esta disertación finalizará con las funciones de variación acotada en espacios métricos. Para ello, nos inspiraremos en resultados que veremos en el capítulo anterior y usaremos las funciones Lipschitz localmente. Además, a lo largo del capítulo, iremos viendo qué mínimas condiciones debemos imponer al espacio para poder definir la variación de una función en este contexto.

In the dissertation presented below, we want to do a general study about functions of bounded variation on different spaces. We will start with functions of bounded variation on a bounded closed interval of R. Based on this concept, we will generalise it to functions defined on an open set of R. In the second chapter, we will study functions of bounded variation on an open set of Rd. In order to define them, we will use the idea of weak derivative and Sobolev spaces. Riesz’ Representation Theorem will caracterise the distributional derivative of these functions. The dissertion will end with functions of bounded variation on metric spaces. For this purpose, we will be inspired by some results we will see in the previous chapter and we will be using locally Lipschitz functions. Furthermore, we will evaluate which minimal conditions will be needed to set in order to define the variation of a function in this context.