Lifting Semistability in Finitely Generated Ascending HNN-Extensions

Abstract

If a finitely generated group G maps epimorphically onto a group H, we are interested in the question: When does the semistability of H imply G is semistable? In this paper, we give an answer within the class of ascending HNNextensions. More precisely, our main theorem states: Suppose that the 1-ended finitely generated ascending HNN-extension H = ⟨S, t; R, t−1st = ϕ(s), s ∈ S⟩ is semistable at infinity. Let R be the kernel of the obvious homomorphism from the free group F({t} ∪ S) onto H, then there is a finite subset R0 ⊆ R such that those finitely generated ascending HNN-extensions H1 = ⟨S, t; R1, t−1st = ϕ(s), s ∈ S⟩, with R0 ⊆ R1 ⊂ R, are all 1-ended and semistable at infinity as well. Furthermore H1 has such a presentation with R1 ⊂ R. Note that there is an obvious epimorphism from H1 to H. It is unknown whether all finitely presented ascending HNN-extensions are semistable at infinity.

La question fondamentale de cet article est de savoir sous quelles conditions la semistabilité d’un groupe H entraîne la semistabilité d’un groupe G qui admet une surjection sur H. Nous allons y répondre dans le cadre des extensions HNN ascendantes. Plus précisement, considérons une extension HNN de type fini ayant un seul bout H = ⟨S, t; R, t−1st = ϕ(s), s ∈ S⟩ qu’on suppose être semistable à l’infini. Soit R le noyau du morphisme tautologique du groupe libre F({t} ∪ S) sur H. Alors il existe un sous-ensemble fini R0 ⊆ R tel que toute extension HNN de type fini H1 = ⟨S, t; R1, t−1st = ϕ(s), s ∈ S⟩, ayant R0 ⊆ R1 ⊂ R, n’a qu’un seul bout et est semistable à l’infini. De plus H1 admet une telle présentation avec R1 ⊂ R. Notons qu’il y a un épimorphisme de H1 dans H. A l’heure actuelle, nous ne savons pas si toutes les extensions HNN ascendantes sont semistables à l’infini.