Aplicaciones del desarrollo de Magnus a la Mecánica Cuántica

Abstract

En este trabajo de fin de grado se aborda el estudio de los desarrollos perturbativos de Magnus y de Floquet-Magnus como herramientas para la resolución de problemas de evolución temporal en la Mecánica Cuántica. Estos procedimientos son ampliamente utilizados en diversos campos de la Física Cuántica, como la teoría de sistemas cuánticos abiertos y la Física de la Materia Condensada. El primero que se muestra es el desarrollo perturbativo de Magnus. Con ´el, se presenta una descripción sistemática de la evolución temporal y puede ser utilizada para calcular soluciones aproximadas en situaciones donde los métodos convencionales no son aplicables o en casos donde su acción complica la resolución de manera considerable. Por otro lado, el desarrollo de Floquet-Magnus se enfoca en la evolución de sistemas cuánticos sujetos a campos externos periódicos. El desarrollo de Floquet-Magnus es especialmente ´útil para describir sistemas cuánticos sometidos a campos electromagnéticos oscilantes, como sistemas de ´átomos y moléculas bajo la influencia de campos láser. En este trabajo, se revisan los fundamentos teóricos de ambas técnicas y se exploran sus aplicaciones en la resolución de problemas de evolución temporal en Mecánica Cuántica. Se presentan ejemplos concretos de su uso, mostrándose además las ventajas y limitaciones de cada una de estas alternativas. Estas técnicas ofrecen enfoques prometedores y poderosos para abordar diversos problemas en Física Cuántica y representan áreas de interés activo para la investigación en el campo de la Física Teórica.

This undergraduate thesis focuses on the study of the Magnus and the Floquet-Magnus perturbative expansions techniques for solving time evolution problems in Quantum Me chanics. These techniques are widely used in various fields of Quantum Physics, such as the theory of open Quantum Systems and Condensed Matter Physics. The first one that is shown is the Magnus perturbative expansion. With it, a systematic description of temporal evolution is presented and can be used to calculate approximate solutions in situations where conventional methods are not applicable or in cases where their action significantly complicates the resolution. On the other hand, the Floquet-Magnus expansion focuses on the evolution of quan tum systems subjected to a periodic external field. This method, based on Floquet theory, provides a simplified and efficient description of the temporal evolution of periodic sys tems. The Floquet-Magnus expansion is particularly useful for describing quantum sys tems subjected to oscillating electromagnetic fields, such as atoms and molecules under the influence of laser field. In this thesis, the theoretical foundations of both methods are reviewed, and their applications in solving time evolution problems in Quantum Mechanics are exposed. Con crete examples of their use in specific situations are presented so that we can compare the advantages and limitations of these techniques. These techniques offer promising and powerful approaches to address various problems in quantum physics and represent actively researched areas in the field of Theoretical Physics.