La sucesión de fibración homotópica de K-teorías asociada a la localización de categorías exactas

Abstract

En la tesis que se presenta se extienden fundamentalmente algunos resultados y metodologías de mediados de los años 80 y 90 sobre la k-categoría algebraica de categorías aditivas al estudio de la k-categoría algebraica de las categoría ... En el tercer capítulo se mejoran algunos resultados ya conocidos de categorías exactas, que se han indicado previamente en los dos primeros capítulos.En el último capítulo se generaliza un resultado clásico de Devisage, de Quillen.En el Capítulo 1 se describe la versión de Waldhausen de la K-Teoría. Ésta se basa en el concepto de una categoría con cofibraciones y equivalencias débiles. Este capítulo además recoge una colección de teoremas fundamentales que nos permiten comparar las K-Teorías de categorías que se relacionan mediante diversos morfismos. Además este capítulo contiene los resultados básicos sobre conjuntos simpliciales y la teoría de homotopía sobre nervios de categorías pequeñas que son necesarios para describir la K-Teoría algebraica.En el Capítulo 2 se presenta el concepto de categoría exacta. Las categorías exactas se tratan desde dos puntos de vista equivalentes: el de Bass como subcategoría abeliana y el de Quillen como una categoría aditiva que satisface ciertos axiomas extras, véase [Weib]. Aunque preferimos el punto de vista de Quillen, el de Bass resulta ser útil a la hora de realizar cálculos. Además describimos de forma axiomática el concepto de localización de categoría exacta. Este descripción se presenta con una lista de axiomas a satisfacer en términos de cierta subcategoría, A Ϲ U. después definimos la categoría exacta A-1U mediante el llamado cálculo de fracciones, por ambos lados, sobre U por la clase de los morfismos en U que tienen núcleo y conúcleo en A, cuando quiera que estos existan. El cálculo de fracciones se descirbe someramente en el Apéndice A. se demuestra que A-1U es efectivamente una localización de U y se dan algunos otros resultados sobre el comportamiento de los morfismos en la categoría localizada A-1U.En el Capítulo 3 mejoramos las propiedades de las categorías exactas dadas, posibilitando poderlas reemplazar por categorías completadas que a nivel K-Teórico son equivalentes a las originales. Para ello definimos la completación idempotente y observamos que basta con utilizar ciertas restricciones de dicha completación para nuestro objetivo. Es más, comprobamos que estas completaciones son compatibles con la localización tal como la definimos en el capítulo anterior.El Capítulo 4 contiene los resultados básicos sobre la categoría exacta de complejos de cadenas finitas sobre una categoría exacta, ver [TT90]. Demostramos, 4.2.1, que la inclusión natural Ԑ C (Ԑ) induce una equivalencia de homotopía entre sus K-Teorías y que además la K–––Teoría de C (Ԑ), en realizad, sólo depende del tipo de homotopía de la clase de sus elementos, 4.2.3. Este último resultado no aparece de forma explícita en la literatura.El Capítulo 5 desarrolla en el campo de las categorías de Waldhausen una herramienta cuyo uso estaba restringido al campo de las categorías abelianas: El teorema de Devissage. Se demuestra que si todos los objetos de una categoría tienen resoluciones finitas con cocientes en una subcategoría fija entonces ambas categorías tienen K-Teorías homotópicamente equivalentes. Este resultado generaliza el teorema clásico de Devissage de Quillen, [Qui72].En el Capítulo 6 describimos el teorema de localización y la fibración homotópica de K-Teorías asociada a éste. Además mostramos alguna aplicaciones de este teorema como la generalización del teorema clásico de localización de Quillen y el “Mixed Localization Theorem” de Levine, [Lev83][Appendix].Como ya dijimos el Apéndice A es un resumen del llamado cálculo de fracciones, que es utilizado en la definición de A-1U.El Apéndice B describe la inmersión de Gabriel-Quillen i de una categoría exacta Ԑ en la categoría abeliana Ab(Ԑ) de los funtores exactos a izquierda F : Ԑop Ab dada por i (E) = Homz ( ,E). este resultado nos permite intercambiar los puntos de vista en la descripción de las categorías exactas debidos a Quillen y Bass.