El problema de la braquistócrona discreta

Abstract

En 1696 Johann Bernoulli planteó un problema a la comunidad científica: Dados dos puntos a distintas alturas, ¿qué recorrido debe seguir un móvil que se deja caer desde el punto más alto para llegar al más bajo en el menor tiempo posible afectado sólo por la gravedad? La solución, conocida como curva braquistócrona, es la cicloide, y a ella llegaron las mentes más destacadas del momento. Este reto, así como las herramientas desarrolladas para su resolución, dieron lugar a la rama de las Matemáticas conocida como Cálculo de Variaciones. En la presente memoria estudiamos un problema relacionado: el de la braquistócrona discreta. En él también deseamos obtener la trayectoria de descenso más rápido, pero buscando exclusivamente entre las curvas con forma poligonal formada por varias rampas. Una de las motivaciones es que la construcción en el mundo real de un trazado poligonal es más simple que el de otras curvas, y las poligonales que resuelven el problema discreto se va ajustando cada vez más a la cicloide. La primera parte de este trabajo se destinada a la formulación y a la solución del problema de Johann Bernoulli, y a relatar el desafío que creó en la comunidad matemática de finales del siglo XVII. La segunda está dirigida a la versión discreta del problema. Se formula matemáticamente el problema y se estudian sus propiedades. Se trata de resolver directamente y se muestran las dificultades que se presentan cuando el número de rampas es elevado. Se plantea un algoritmo alternativo que cosiste en abordar el problema no como un problema de minimización, sino construyendo la poligonal a partir de sus propiedades. Se recogen los programas informáticos que nos proporcionan las soluciones al problema original así como de su versión discreta, que permiten una comparativa entre ambos.