Equivalencia de quasi-normas en espacios de Orlicz generalizados

Abstract

El marco de trabajo de esta memoria lo constituye el estudio de los espacios generalizados de Luxemburg XΦ L y de Orlicz XΦ O asociados a un espacio quasinormado X y una N-funci´on Φ. En particular, estamos interesados en mostrar la relaci´on entre los espacios XΦ L y XΦ O y la equivalencia de sus quasi-normas naturales. Los objetivos principales de este trabajo pueden resumirse en tres. El primero de ellos es construir un ejemplo de espacio de Banach de funciones (X, k·kX) y una N-funci´on Φ con la propiedad ∆2 para el que se tenga la contenci´on estricta entre los espacios de Luxemburg y Orlicz asociados. Es decir, que X Φ L ( X Φ O . Logrado este primer objetivo, quedar´a claro que en general los espacios de Luxemburg y Orlicz no coinciden. Por tanto, el siguiente paso consiste en buscar condiciones generales que garanticen la igualdad entre dichos espacios y, si es posible, obtener adem´as la equivalencia entre las quasi-normas asociadas. Adem´as, cuando no se tenga garantizada la igualdad entre el espacio de Orlicz y Luxemburg, nos interesa saber, al menos, cu´ando las quasi-normas son equivalentes en el espacio peque˜no XΦ L . Este problema constituye precisamente nuestro segundo objetivo. Finalmente, tanto para garantizar, en un caso, la igualdad entre los espacios generalizados de Luxemburg y Orlicz junto con la equivalencias de sus quasi-normas y, en otro caso, la equivalencia de dichas quasi-normas en el espacio de Luxemburg XΦ L , comprobaremos que ser´a suficiente que la quasi-norma k· kX, del espacio quasi-normado de funciones X, posea un q-renormado estrictamente mon´otono junto con que X posea la propiedad σ-Fatou, o bien, la N-funci´on Φ tenga la propiedad ∆2. Por tanto, el tercer y ´ultimo objetivo ser´a buscar condiciones suficientes que garanticen la existencia de un q-renormado estrictamente mon´otono.