A viscous fluid in a thin domain satisfying the slip condition on a slightly rough boundary

Abstract

We consider a viscous fluid of small height ε on a periodic rough bottom Γε of period rε and amplitude δε, δε rε ε, where we impose the slip boundary condition. When ε tends to zero we obtain a Reynolds system depending on the limit λ of (δε √ε )/(rε √rε ). If λ = +∞, the fluid behaves as if we would impose the adherence condition on Γε. This justifies why this is the usual boundary condition for viscous fluids. If λ = 0 the fluid behaves as if Γε was plane. Finally, for λ ∈ (0,+∞) it behaves as if Γε was flat but with a higher friction coefficient.

On considère un fluide visqueux de faible épaisseur ε sur un fond rugueux Γε, périodique de période rε et amplitude δε, δε rε ε, où on impose la condition de glissement. Quand ε converge vers zéro on obtient un système de type Reynolds qui dépend de la limite λ de (δε √ε )/(rε √rε ). Si λ = +∞, le fluide se comporte comme si on aurait imposé la condition d’adhérence sur Γε. Ceci justifie la condition usuelle pour un fluide visqueux. Si λ = 0 le fluide se comporte comme si Γε était plate. Enfin, pour λ ∈ (0,+∞), tout se passe comme si Γε était plate, mais avec un coefficient de frottement plus élevé.