Principio Variacional en Gravitación

Abstract

En el presente trabajo se aborda el estudio de las ecuaciones de movimiento en el ámbito de la gravitación. Estudiaremos las ecuaciones de campo de distintas teorías gravitatorias que se obtienen a través del principio de acción extrema en la que el lagrangiano del sistema varía con respecto de la métrica. Realizaremos nuestro estudio en el lenguaje de la geometría diferencial, desarrollando herramientas matemáticas de gran utilidad, con la finalidad de obtener en todos nuestros casos ecuaciones de movimientos diferenciales de segundo orden, resolubles en el campo de la mecánica clásica a partir de la posición y el momento, nuestras condiciones iniciales. En primer lugar, nos centraremos en obtener las ecuaciones de campo de Einstein a partir de la acción de Einstein-Hilbert. Dichas ecuaciones forman un conjunto de diez ecuaciones diferenciales de segundo orden en la métrica y conforman lo que se conoce en la bibliografía como Relatividad General. Posteriormente estudiaremos posibles extensiones de la acción de Einstein-Hilbert, avanzando hacia gravedad cuadrática en curvatura y concretando en el conocido caso del término de Gauss-Bonnet. Además, profundizaremos en una de las soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein más conocidas, la métrica de Schwarzschild. Dicha métrica da solución al problema de una esfera simétrica estática en el vacío y está estrechamente ligada a los sucesos naturales de los agujeros negros. Para ello, desarrollaremos dicha solución en diversas coordenadas con la finalidad de explicar correctamente el espacio-tiempo.