Extraction d’information homologique des objets discrets s’appuyant sur des graphes orientés

Abstract

Tout objet discret n-dimensionnel peut être transformé en complexe cubique, dont on peut étudier les groupes d’homologie pour mieux comprendre l’objet original. Une approche classique consiste à calculer la Forme Normale de Smith de matrices encodant le complexe cubique. Un certain nombre de travaux développent des méthodes permettant de réduire la taille de ces matrices. Dans cet article, nous proposons une nouvelle approche, initialement fondée sur la théorie discrète de Morse, calculant l’information homologique (nombres de Betti et cycles représentatifs) sans utiliser la Forme Normale de Smith. Notre approche s’applique en dimension quelconque et peut être utilisée pour n’importe quel type de complexe cellulaire régulier.

n-dimensional discrete objects can be interpreted as cubical complexes which are suitable for the study of their homology groups in order to understand the original discrete object. The classic approach consists in computing the Normal Smith Form of some matrices that encode the cubical complex. Further approaches deal mainly with a pre-processing of these matrices in order to reduce their size. In this paper we propose a new approach, initially based on Discrete Morse Theory, which computes some homological information (Betti numbers and representative cycles) without calculating the Normal Smith Form. It works on any dimension, and it can also be applied to any kind of regular cell complex.