dc.contributor.advisor | Mari, Jean-Luc | es |
dc.contributor.advisor | Bac, Alexandra | es |
dc.contributor.advisor | Real Jurado, Pedro | es |
dc.creator | González Lorenzo, Aldo | es |
dc.date.accessioned | 2021-06-09T12:06:19Z | |
dc.date.available | 2021-06-09T12:06:19Z | |
dc.date.issued | 2016-11-24 | |
dc.identifier.citation | González Lorenzo, A. (2016). Computational Homology Applied to Discrete Objects. (Tesis Doctoral Inédita). Universidad de Sevilla, Sevilla. | |
dc.identifier.uri | https://hdl.handle.net/11441/111568 | |
dc.description.abstract | Homology theory formalizes the concept of hole in a space. For a given
subset of the Euclidean space, we define a sequence of homology groups,
whose ranks are considered as the number of holes of each dimension.
Hence, β0, the rank of the 0-dimensional homology group, is the number
of connected components, β1 is the number of tunnels or handles and β2
is the number of cavities. These groups are computable when the space is
described in a combinatorial way, as simplicial or cubical complexes are.
Given a discrete object (a set of pixels, voxels or their analog in higher dimension)
we can build a cubical complex and thus compute its homology
groups.
This thesis studies three approaches regarding the homology computation
of discrete objects. First, we introduce the homological discrete vector
field, a combinatorial structure which generalizes the discrete gradient vector
field and allows us to compute the homology groups. This notion allows
us to see the relation between different existing methods for computing
homology. Next, we present a linear algorithm for computing the Betti
numbers of a 3D cubical complex, which can be used for binary volumes.
Finally, we introduce two measures (the thickness and the breadth) associated
to the holes in a discrete object, which provide a topological and geometric
signature more interesting than only the Betti numbers. This approach
provides also some heuristics for localizing holes, obtaining minimal homology
or cohomology generators, opening and closing holes. | es |
dc.description.abstract | La théorie de l’homologie formalise la notion de trou dans un espace.
Pour un sous-ensemble de l’espace Euclidien, on définit une séquence de
groupes d’homologie, dont leurs rangs sont interprétés comme le nombre
de trous de chaque dimension. Ainsi, β0, le rang du groupe d’homologie de
dimension zéro, est le nombre de composantes connexes, β1 est le nombre
de tunnels ou anses et β2 est le nombre de cavités. Ces groupes sont calculables
quand l’espace est décrit d’une façon combinatoire, comme c’est le
cas pour les complexes simpliciaux ou cubiques. À partir d’un objet discret
(un ensemble de pixels, voxels ou leur analogue en dimension supérieure)
nous pouvons construire un complexe cubique et donc calculer ses groupes
d’homologie.
Cette thèse étudie trois approches relatives au calcul de l’homologie sur
des objets discrets. En premier lieu, nous introduisons le champ de vecteurs
discret homologique, une structure combinatoire généralisant les champs de
vecteurs gradients discrets, qui permet de calculer les groupes d’homologie.
Cette notion permet de voir la relation entre plusieurs méthodes existantes
pour le calcul de l’homologie et révèle également des notions subtiles associées.
Nous présentons ensuite un algorithme linéaire pour calculer les
vi
nombres de Betti dans un complexe cubique 3D, ce qui peut être utilisé
pour les volumes binaires. Enfin, nous présentons deux mesures (l’épaisseur
et la largeur) associées aux trous d’un objet discret, ce qui permet d’obtenir
une signature topologique et géométrique plus intéressante que les simples
nombres de Betti. Cette approche fournit aussi quelques heuristiques permettant
de localiser les trous, d’obtenir des générateurs d’homologie ou de
cohomologie minimaux, d’ouvrir et de fermer les trous. | es |
dc.description.abstract | La teoría de la homología formaliza la noción de agujero en un espacio.
Dado un subconjunto del espacio Euclídeo, se define una secuencia de grupos
de homología, cuyos rangos se consideran el número de agujeros de
cada dimensión. Así, β0, el rango del grupo de homología de dimensión 0,
es el número de componentes conexas, β1 es el número de túneles o asas y
β2 es el número de cavidades. Estos grupos son calculables cuando el espacio
es descrito de manera combinatoria, como ocurre con los complejos
simpliciales o cúbicos. También, dado un objeto discreto (un conjunto de píxeles,
vóxeles o elementos de dimensión superior), podemos construir un
complejo cúbico y así calcular sus grupos de homología.
Esta tesis estudia tres enfoques relativos al cálculo de la homología en
los objetos discretos. En primer lugar, introducimos el campo de vectores discreto
homológico, una estructura combinatoria que generaliza el campo de
vectores gradiente discreto y que permite calcular los grupos de homología.
Este concepto permite ver la relación entre varios métodos existentes
para el cálculo de la homología. Posteriormente presentamos un algoritmo
lineal para calcular los números de Betti de un complejo cúbico 3D, y por
tanto, de un volumen binario. Por último introducimos dos medidas (el espesor
y la amplitud) asociadas a los agujeros de un objeto discreto, las cuales
proporcionan una firma topológica y geométrica más interesante que simplemente
los números de Betti. El cálculo de estas medidas además también
aporta unas heurísticas para localizar los agujeros, obtener generadores de
homología o cohomología mínimos, abrir o cerrar agujeros. | es |
dc.format | application/pdf | es |
dc.format.extent | 144 p. | es |
dc.language.iso | eng | es |
dc.rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internacional | * |
dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ | * |
dc.title | Computational Homology Applied to Discrete Objects | es |
dc.type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis | es |
dcterms.identifier | https://ror.org/03yxnpp24 | |
dc.type.version | info:eu-repo/semantics/publishedVersion | es |
dc.rights.accessRights | info:eu-repo/semantics/openAccess | es |
dc.contributor.affiliation | Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada I (ETSII) | es |
dc.publication.endPage | 123 | es |