Facultad de Matemáticas

URI permanente para esta comunidadhttps://hdl.handle.net/11441/40544

Examinar

Examinando Facultad de Matemáticas por Materia "Aritmética"

Seleccione resultados tecleando las primeras letras
Mostrando 1 - 1 de 1
  • Miniatura
    Acceso AbiertoTrabajo Fin de Grado
    Cuando Riemann conoce a Bernoulli : Aplicaciones de la Teoría de la Probabilidad en la Teoría de Números
    (2022-06-15) Hernández de la Hera, Juan Manuel; Curbera Costello, Guillermo; Universidad de Sevilla. Departamento de Análisis Matemático
    El objetivo de este trabajo es recopilar y mostrar, de la forma m´as cercana posible, las posibles aplicaciones de la Teor´ıa de la Probabilidad en varias cuestiones concernientes a la Teor´ıa de N´umeros. Conforme el lector pase por las p´aginas de este documento, se dar´a cuenta de que estas aplicaciones no s´olo no son pocas, sino que son realmente ingeniosas. Este trabajo toma como referencia principal el libro de Emmanuel Kowalski, [19], junto con otros textos explicitados en la bibliograf´ıa. Antes de describir el contenido, no est´a de m´as avisar de los prerrequisitos necesarios para afrontar los resultados y sus demostraciones. Es recomendable tener algunas nociones b´asicas de Teor´ıa de la Probabilidad e Inferencia Estad´ıstica, pues en muchos casos se tratar´an distribuciones b´asicas (como la normal o la Poisson) y cuestiones de convergencia de variables aleatorias. Adem´as, por supuesto, de algunas nociones de Teor´ıa Anal´ıtica de N´umeros. Si no es el caso, todos los resultados empleados de estas ´areas se encuentran en los Anexos correspondientes. Por lo tanto, podemos decir que este trabajo est´a pensado para cualquier persona que tenga inter´es en la Teor´ıa de N´umeros, pues aqu´ı se puede ver otra perspectiva de las grandes cuestiones que ´esta abarca. Podemos, pues, empezar con la descripci´on de los contenidos, lo cual haremos con el propio t´ıtulo, que no es casual. En ´el hacemos referencia a dos representantes de ambas ramas. Por un lado, Bernhard Riemann, cuya hip´otesis es, no solo el mayor problema de la Teor´ıa de N´umeros, sino de las Matem´aticas en general. Por otro lado, Jacob Bernoulli, cuya variable hom´onima es la distibuci´on (junto con la normal) m´as representativa de la Teor´ıa de la Probabilidad. Por ´ultimo, la propia estructura del t´ıtulo hace referencia a la obra biogr´afica sobre Richard Feynman, Cuando un fot´on conoce a un electr´on. En el primer cap´ıtulo encontraremos el Teorema de Erd¨os-Kac, el cual se puede considerar como el pionero de la Teor´ıa Probabil´ıstica de N´umeros. Este resultado establece que el n´umero de factores primos de un n´umero entero n sin contar multiplicidad (ω(n)) tomado aleatoriamente del conjunto {1, . . . , N} converge, previa renormalizaci´on, en ley a la normal est´andar N cuando N → +∞. Posteriormente, discutiremos la raz´on de esta renormalizaci´on, y daremos el resultado que motiv´o este teorema, el Teorema de Hardy-Ramanujan. Finalmente, con ayuda del software R, visualizaremos emp´ıricamente la convergencia en ley de ω(n), tanto renormalizando como sin renormalizar, adem´as de la distribuci´on de φ(n)/n, donde φ(n) es la funci´on totient de Euler. En el segundo cap´ıtulo se incluyen tres teoremas concernientes a la distribuci´on de la funci´on zeta de Riemann. En primer lugar, nos encontraremos los Teoremas de Bohr-Jessen y Bagchi, los cuales tratan la distribuci´on de la funci´on zeta para los s ∈ C tales que ℜ(s) ∈ (1/2, 1]. A continuaci´on, tenemos el Teorema de Selberg, el cual trata la convergencia justamente sobre la l´ınea cr´ıtica, es decir, los s ∈ C tales que ℜ(s) = 1/2. Finalmente, podemos ver una interesante interpretaci´on probabil´ıstica de la Hip´otesis de Riemann, propuesta por Arnaud Denjoy. ii En el tercer cap´ıtulo trataremos el sesgo de Chebyshev, y nuestro objetivo a lo largo del cap´ıtulo es definir la distribuci´on de Rubinstein-Sarnak, probar su existencia y dar algunas de sus propiedades, como por ejemplo, su funci´on caracter´ıstica o la probabilidad de que tome valores grandes. El cuarto cap´ıtulo sigue una estructura similar al anterior, pero tratando esta vez sobre las sumas de Kloosterman. En particular, nos interesa estudiar los caminos generados por las sumas parciales de ´estas. Para ello, definiremos estas sumas, dando algunas de sus propiedades. Posteriormente, estudiaremos su distribuci´on para acabar dando algunas consecuencias de esta distribuci´on, como el soporte de la distribuci´on o la probabilidad de que las sumas parciales tomen valores grandes. Finalmente, en el quinto cap´ıtulo daremos una introducci´on somera a varios temas en los que tambi´en se pueden enlazar la Teor´ıa de la Probabilidad y la Teor´ıa de N´umeros. Aparecer´an la equidistribuci´on m´odulo 1, los espacios entre primos, algunos resultados relacionados con la Teor´ıa de Ratner, un teorema de distribuci´on para las sumas de Rademacher, una breve introducci´on a los grafos de Ramanujan y el modelo de Cram´er junto con algunas de las fallas que presenta. Este cap´ıtulo, y por consiguiente, el trabajo, acaba con la menci´on de algunas ideas m´as en las que pueden estar involucradas las herramientas probabil´ısticas.