Fundamentos matemáticos de la relatividad general: algunos modelos cosmológicos

Abstract

En este trabajo vamos a desarrollar los conceptos, formalismos y herramientas matemáticas, propios de la Geometría Diferencial, que sirven de base para la teoría de la Relatividad. Comenzaremos con un breve repaso sobre las variedades diferenciables y tensores, continuaremos introduciendo las formas bilineales con el fin de definir las variedades semi-Riemannianas. En el estudio de este tipo de variedades introduciremos la conexión de Levi-Civita, los productos warped, las geodésicas y los tensores de curvatura. Además, nos centraremos brevemente en un tipo concreto de estas variedades: las variedades de Lorentz. Una vez expuesto y desarrollado lo anterior, introduciremos el formalismo de la Relatividad General y veremos tres modelos cosmológicos en los que haremos uso de los conceptos previamente desarrollados: los espacio-tiempos de Lorentz-Minkowski, Schwarzschild y Robertson-Walker.

In this work we are going to introduce the concepts, formalisms and mathematical tools of Differential Geometry in which the theory of Relativity is based. We will start with a brief review about smooth manifolds and tensors, followed by bilinear forms in order to define semi-Riemannian manifolds. During the study of this kind of manifolds, we will introduce the Levi-Civita conection, warped products, geodesics and curvature tensors. Also, we will focus in a specific type of this manifolds: Lorentz manifolds. After developing all this structure, we will stablish the formalism of General Relativity and apply the previous concepts in three different cosmological models: Lorentz-Minkowski, Schwarzschild and Robertson-Walker spacetimes.