Lineabilidad en espacios de sucesiones

Abstract

Desde siempre, grandes matemáticos de todas las épocas se han sentido atraídos y fascinados por la existencia de grandes estructuras algebraicas que verifican ciertas propiedades que, a priori, contradicen la intuición matemática. El objetivo del presente Trabajo es el estudio de la lineabilidad de algunas familias de sucesiones de funciones con propiedades muy particulares. Este trabajo se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, con el fin de que la lectura sea autocontenida, realizaremos un breve repaso de las nociones y conceptos básicos del Análisis Matemático, Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Topología que usaremos en los capítulos posteriores. En el segundo Capítulo veremos los distintos conceptos de lineabilidad que utilizaremos. Para finalizar, estudiaremos las relaciones entre ellos y algunos resultados que nos permiten obtener unos a partir de otros. En el Capítulo tercero nos centraremos en el estudio algebraico de dos conjuntos distintos. Demostraremos la lineabilidad de ambos, sirviéndonos de ayuda para el estudio de la lineabilidad de otros conjuntos. Por último, en el cuarto Capítulo, finalizaremos la Memoria buscando algunas estructuras algebraicas dentro de otros dos conjuntos de sucesiones de funciones. Los resultados contenidos en este capítulo son originales. La realización del presente trabajo nos ha permitido adentrarnos en una línea de investigación que conjuga conceptos propios del Análisis Funcional, la Topología o el Álgebra Lineal. Se trata de un campo en auge en las últimas décadas, aunque sus orígenes se remonten a finales del siglo XIX. La bibliografía la hemos dividido en dos partes. En primer lugar destacamos la Bibliografía fundamental, en la que hemos recogido las referencias que se han manejado con mayor intensidad para la realización del trabajo. Por otro lado, bajo el epígrafe de Otras referencias hemos incluido una colección de algunos de los artículos más importantes en la literatura, tanto clásicos como modernos, y que ilustran la importancia que el estudio de las funciones continuas no derivables en ningún punto ha adquirido.

Historically, many mathematicians of all ages have been attracted and fascinated by the existence of large algebraic structures that satisfy certain properties that, a priori, contradict mathematical intuition. The aim of the present work is the study of the lineability of some families of sequences of functions with very specific characteristics. This work is divided into four chapters. In the first one, so that reading is selfcontained, we will make a brief review of basic notions and concepts of Mathematical Analysis, Measure Theory, Functional Analysis and Topology that we will use later. In the second chapter we see different concepts of lineability and we study the relationships between them and some sufficient conditions that allow us to obtain one from other. In the third chapter we focus on the algebraic study of two different sets. We show the lineability of both, serving us as help for the study of the lineability of other sets. Finally, in the fourth chapter, we will finish looking for some algebraic structures in two other sets of sequences of functions. The completion of this work has allowed to introduce us into a line of research that combines concepts from Functional Analysis, Topology and Linear Algebra. It is a booming field in recent decades, although its origins date back to the late nineteenth century. The bibliography has been divided into two parts. First we highlight the Main bibliography, which has collected the references that have been handled with greater intensity to the performance of work. Furthermore, under the heading Other references we have included a collection of some of the most important papers in the literature, both classical and modern, and illustrate the importance that the study of nowhere continuous functions has purchased.