Análisis y optimización de métodos de colocación para problemas de convección de Rayleigh-Bénard

Abstract

El objetivo de este proyecto ha sido el desarrollo y optimización de métodos de resolución, implementados en Matlab, para problemas de convección de Rayleigh-Bénard y de convección forzada en recintos 2D. Ambos problemas pueden ser tratados de la misma manera gracias a la forma en que se imponen las condiciones de contorno. Se ha preferido un enfoque didáctico, que ayude a entender la complejidad para resolver problemas dominados por las ecuaciones de Navier-Stokes, en lugar del uso de algún software tipo caja negra. Se espera que el proyecto sea capaz de hacer patente todo lo que incluye este tipo de software de manera interna. El proceso general seguido a lo largo del proyecto se ha basado en la validación y optimización de las diferentes partes que componen el método, comparando con la bibliografía existente. Posteriormente, se procede a la obtención de resultados de interés, que ayuden a entender el fenómeno en estudio. Se ha utilizado el modelo de Boussinesq, formulado en temperatura y función de corriente, para simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes. Se aplican estas a todos los nodos del dominio, resultando, a priori, un sistema de ecuaciones con dos incógnitas por cada nodo. Las geometrías simuladas consisten en dominios rectangulares 2D, sobre el que se han añadido dos variantes: contornos verticales u horizontales no rectos. Para ello se ha realizado un cambio de variable que permite a partir de cualquiera estos dos obtener el primero. Se ha buscado un enfoque universal que trate las derivadas como operadores matriciales y que permita aplicar las condiciones de contorno directamente en el sistema matricial resultante. De esta forma, pueden cambiarse los métodos para la obtención de las matrices de derivadas y aplicarse directamente sin realizar ningún otro cambio. Para la obtención de tales matrices se ha hecho uso de métodos de colocación con polinomios de Lagrange como funciones interpoladoras. Para el cálculo del valor en los nodos se han usado nodos de Chebyshev (todos los de la dirección en cuestión para buscar el mínimo error) o diferencias finitas de hasta sexto orden (aplicando el algoritmo de Fornberg, [20]) con diferentes distribución de nodos. A partir de estos métodos, se obtienen matrices válidas en una dirección, que hay que extrapolar teniendo en cuenta el cambio de variable al dominio 2D. Aplicando los operadores matriciales obtenidos y sustituyendo las condiciones de contorno en el sistema que gobierna el problema, se llega al sistema algebraico que ha de resolverse. Para la integración temporal se hace uso de un método semi-implícito. Obtenidas las ecuaciones y los métodos para su resolución, en primer lugar, se realiza un análisis de estabilidad lineal en torno a un estado de equilibrio con diversas condiciones de contorno. Este se usará para entender el concepto de número de Rayleigh crítico, así como para validar y optimizar los métodos. En segundo lugar se resolverán las ecuaciones a lo largo del tiempo para diferentes condiciones de contorno, entre las que se encuentran la inclusión de un caudal. Por último se indican posible líneas futuras para continuar el trabajo realizado en este proyecto.

The main aim of this project is the development and optimization of methods to solve Rayleigh- Bénard convection, as well as forced convection inside 2D domains. Both problems can be solved in the same way thanks to how the boundary conditions are imposed. The project tries to highlight the difficulties to solve problems dominated by Navier-Stokes equations instead to using specialized software, which are usually similar to a ’black box’. Along this project, the different parts of the methods have been validated using the bibliography as a reference. Then, they have been used to obtain several results in order to understand convection phenomenon. Boussinesq model is applicated to solve the Navier-Stokes equations, with temperature and stream function as variables. Aplying these equations to all mesh nodes results in an equation system with two unknown variables per node. The domains solved are 2D rectangles. Although, vertical or horizontal boundaries can be solved aswell by applying a change of variables to obtain a rectangular domain. It is important to emphasize the universal approach to deal with derivated terms as matrix operators. This allows imposing boundary conditions directly in the matrix system resulted from applying Boussinesq model at the nodes. It does not depend on the way derivatives are calculated. In this project, a collocation method with Lagrange polynomials is used. The value at collocation points are calculated with Chebyshev nodes or using Fornberg algorithm ([20]) to obtain sixth-order finite differences. These two methods calculate matrixes for just one direction, so they have to be extrapolated to 2D domain, taking into account a change of variable. Time derivative is solved by using a semi-implicit method. Applying these operators to the equation system leads to an algebraical matrix system, in wich boundary conditions are imposed by substituting the corresponding boundary equation (a row of the matrix). First, a linear stability analysis have been made applying several boundary conditions. Critical Rayleigh number can be obtained from this, which helps to understand convection initiation. In addition, it can be used to optimize methods and finding strengths and weaknesses for each one of them. Then, multiple domains and boundary conditions are solved along time, including forced convection. Finally, some future research lines are proposed to continue with this project.