Teoría del grado y aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales

Abstract

El objetivo de la presente memoria es introducir los elementos básicos de la teoría del grado en espacios de dimensión finita (grado de Brouwer) e infinita (grado de Leray-Schauder). Nos centramos especialmente en mostrar su relación con la existencia de solución y la dependencia respecto de los datos para sistemas de ecuaciones no lineales. Muy especialmente consideramos las aplicaciones a la resolución de problemas diferenciales. En este sentido, usamos la teoría en dimensión finita para probar la existencia de soluciones periódicas y de puntos de equilibrio para sistemas ordinarios. La teoría infinito-dimensional es usada para obtener un resultado bastante general de existencia de solución local para un problema de Cauchy correspondiente a un Sistema Diferencial Ordinario y para probar la existencia de solución débil para el sistema de Navier-Stokes.

The goal of the present work is to introduce the basic elements of the degree theory in spaces of finite (Brouwer theory) and infinite (Leray-Schauder theory) dimension. We are mainly interested in showing the relationship with the existence of solution and the dependence with respect to the data for systems of non-linear equations. Specially, we consider the application to the resolution of differential problems. Namely, the finite-dimensional theory is used to show the existence of periodic solutions and critical points for ordinary differential systems. The infinite-dimensional theory is used to get a very general result about the existence of local solution for a Cauchy problem relative to an ordinary differential system and to show the existence of weak solution for the Navier-Stokes system.