Dominios de Dedekind, factorización de ideales y aplicaciones

Abstract

In order to study some number theoretical problems, algebraic number fields and their ring of integers have being introduced. In this dissertation rings of integers and their arithmetic properties will be studied. Since they don’t have unique factorization, in the second chapter ideals will be used to generalize it as unique factorization of ideals. This will be proved in the more general case of Dedekind domains. Afterwards, it will be given a measure of “how far” they are from being principal ideal domains called the class number. Since the moment all those concepts are introduced, the objective of this dissertation will be to give a formula which relates the class number with the zeta functions. In order to do this, in chapter 3, it will be proved Minkowski theorem which will be used to find a bound to the discriminant (an invariant of the number fields) and in chapter 4 it will be proved the Dirichlet’s unit theorem which gives the structure of the group of units in the ring of integers. Finally, in chapter 5 we get the formula.

Para estudiar algunos problemas de teoría de números, se han introducido los cuerpos de números algebraicos y sus anillos de enteros. En esta memoria se estudiarán los anillos de enteros y sus propiedades aritméticas. Como estos no tienen necesariamente factorización única, en el segundo capítulo se usarán los ideales para generalizarlo como factorización única de ideales. Se probará en el caso más general de dominios de Dedekind. Después, se dará una medida de “cómo de lejos” están de ser dominio de ideales principales llamada número de clases. Desde el momento en el que todos estos conceptos se han introducido, el objetivo de la memoria será el de dar una fórmula que relacione el número de clases con las funciones zeta. Para hacer esto, en el capítulo 3, se probará el teorema de Minkowski que será usado para encontrar una cota del discriminante (un invariante de los cuerpos de números) y en el capítulo 4, se probará el teorema de Dirichlet que da la estructura del grupo de unidades en el anillo de enteros. Finalmente, en el capítulo 5 obtendremos la fórumla.