Soluciones explícitas de las ecuaciones de los fluidos y consecuencias

Abstract

Entender el movimiento de los líquidos, gases y plasmas forma la parte central de la Mecánica de Fluidos, que es de gran importancia para la Química, Física o Ingeniería. Estos problemas están planteados en lenguaje matemático mediante Ecuaciones en Derivadas Parciales, o EDPs, tales como las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes. Considerando flujos incompresibles, estas ecuaciones son difíciles de entender debido a su no linealidad, entre otras razones. En particular, se conocen pocas soluciones explícitas o exactas. En este trabajo se han calculado algunas de las soluciones exactas más importantes de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes para fluidos incompresibles, a través de las cuales se ilustran los distintos tipos de movimientos que tienen este tipo de fluidos, dando también algunas consecuencias. El primer capítulo introduce las ecuaciones de los fluidos así como los elementos que las forman con el objetivo de empezar a ganar intuición sobre sus posibles comportamientos. La diferencia entre el planteamiento de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes es la inclusión del término de viscosidad ν en las mismas, siendo nulo para el caso Euler. Debido a ello, se hablará de fluidos viscosos cuando se trabaje en las ecuaciones de Navier-Stokes mientras que al hacerlo en Euler se denominarán fluidos ideales o no viscosos. A continuación, se analiza el comportamiento de un flujo cualquiera a nivel local, observándose que su composición se divide en rotaciones, traslaciones y deformaciones del mismo. De esta manera, se calculan las primeras soluciones exactas que ilustran estos efectos tanto por separado como en conjunto. Además, se considera la vorticidad, responsable de las rotaciones del fluido, y su correspondiente ecuación, cuyo estudio ocupará gran parte de nuestro análisis. Por último, se ha incluido una sección de resultados necesarios sobre las ecuaciones de Poisson y el calor al final del capítulo. El segundo capítulo comienza con el análisis de la estructura que posee ecuación de la vorticidad. Esta consta de 3 términos, correspondientes a efectos de convección, estiramiento de vórtice y difusión, estando este último ligado a la viscosidad ν del fluido. Con el fin de ilustrarlos, se considera un flujo irrotacional visto en el capítulo anterior y se añade una componente al campo de velocidades de manera que la vorticidad deje de ser nula y así el fluido empiece a rotar. Para que esto se cumpla, las ecuaciones de Navier-Stokes para el nuevo flujo se reducen a una ecuación lineal difusiva que debe verificar la componente añadida. Mediante su resolución, se ven 4 ejemplos de soluciones explícitas, los cuales se dividen en grupos de 2 de la siguiente manera. En el primer ejemplo se considera el caso Euler y en el siguiente Navier-Stokes (añadiendo el término de difusión). Una vez estudiados, vemos la convergencia entre ambos cuando la viscosidad ν -> 0. Este tipo de análisis se repite frecuentemente en los ejemplos de los capítulos 3 y 4. El tercer capítulo estudia soluciones estacionarias en el plano. En la primera sección se realiza la reformulación Corriente-Vorticidad de las ecuaciones de Navier-Stokes bajo ciertas condiciones de regularidad y decaimiento en el infinito. Para ello, mediante el lema de Poincaré, o descomposición de Helmholtz, se introduce la función de corriente, que nos permite expresar el campo de velocidades en función de la vorticidad. De este modo, nuestro problema se reduce a la resolución de la ecuación de la vorticidad y una ecuación de Poisson. A partir de esta reformulación, en la segunda sección se tratan dos tipos de flujos. En primer lugar, se calculan soluciones radiales, es decir, remolinos bidimensionales, y luego flujos periódicos con respecto de las dos direcciones principales del plano, lo cual es equivalente a estudiarlos en el toro T2. Para ambos flujos, se consideran los casos viscoso e ideal para el posterior estudio de la convergencia entre estos cuando ν -> 0. Por último, se ven los llamados flujos de ojos de Gato de Kelvin-Stuart, que poseen periodicidad con respecto de una de las dos direcciones del plano. Sobre los efectos que conlleva la ecuación de la vorticidad, se analiza que el estiramiento del vórtice y la deformación de un fluido en el espacio son dos efectos dependientes, de manera que no se produce uno sin el otro. Esta es una de las principales diferencias entre los fluidos de dimensiones 2 y 3. De esta manera, en 2D la vorticidad se mantiene constante al no haber deformación con respecto del espacio. El cuarto capítulo, a partir de flujos bidimensionales ya calculados en capítulos anteriores, presenta soluciones 3D que sufran estiramiento de vórtice y los efectos que esto conlleva. En primer lugar, partiendo de una solución en el plano, se añade una tercera componente dependiente de las variables 2D del mismo, obteniéndose los llamados flujos de dimensión dos y media. A continuación, nos interesamos en generar soluciones estacionarias 3D para las ecuaciones de Euler a partir de un flujo estacionario ideal 2D. Partiendo de algunos flujos periódicos y estacionarios del capítulo 3, los ejemplos que se ven son una extensión de los mismos a R3 mediante la condición de Beltrami, que consiste en la consideración de paralelismo entre velocidad y vorticidad en todo punto. Este tipo de flujos reciben el nombre de flujos de Beltrami. Por último, calculamos soluciones con simetría respecto de algún eje, es decir, tratamos flujos axisimétricos. Cuando roten, por lo que su velocidad angular será no nula, se denominarán remolinos. Para tratar este tipo de flujos, previamente se reformulan las ecuaciones de Navier-Stokes y la vorticidad en coordenadas cilíndricas. Aunque se traten de manera teórica las ecuaciones, sólo se ven ejemplos de remolinos debido al interés y complejidad que poseen. Más concretamente, a partir de una solución axisimétrica cuya vorticidad es perpendicular al plano sobre el que gira, se sobrepone otro flujo con dependencia del plano radial. De esta manera se genera una solución explícita axisimétrica para la cual su vorticidad no es perpendicular a dicho plano, lo que provoca que el remolino sufra inclinaciones. Cabe comentar que, tanto para los flujos de dimensión dos y media como en este último ejemplo, el razonamiento seguido en sus respectivas deducciones posee similitudes con el realizado en el capítulo 2 sobre el flujo irrotacional. De este modo, las ecuaciones de Navier-Stokes para los flujos generados se reducen a una ecuación de difusión sobre la componente añadida. Como se ha comentado al principio del resumen, no son pocos los problemas que a día de hoy existen a la hora de entender y tratar las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes. Por ejemplo, no se sabe si, dada una solución 3D cuya condición inicial posee una cierta regularidad, esta va a mantenerse regular o se generarán singularidades en tiempo finito. Para finalizar, el capítulo 5 prueba mediante un ejemplo explícito de solución cómo las ecuaciones de Euler en los espacios de Hölder Cα, con 0 < α < 1, pierden regularidad para todo tiempo positivo. Lo que indica el mal planteamiento de las ecuaciones de Euler en este tipo de espacios.

Understanding the dynamics of liquids, gases and plasmas is the central part of Fluid Mechanics, which have a huge importance for Chemistry, Physics and Engineering. These problems are written in a mathematical language by partial differential equations (PDE), as Euler and Navier-Stokes Equations. Considering incompressible flows, these equations are difficult to understand because, among other reasons, they are nonlinear. In particular, just a few exact solutions are known. In this work we shall compute some of the most important exact or explicit solutions for the Euler and Navier-Stokes Equations for incompressible fluids. Through these solutions are ilustrated the different kind of dynamics that these fluids have, also giving some consequences. The first chapter introduces the equations of fluids and their components with the aim of starting to gain intuition about their possible behaviors. Vorticity it considered, making the fluids rotates, together with its equation. We shall see that, locally, a fluid’s movement is composed by rotations, traslations and deformations. So, we shall calculate the first exact solutions which ilustrate those effects one by one and together. The chapter two also includes a section of propositions used throughout this manuscript about the heat and Poisson equations. In the second chapter, firstly, we shall analyse the stucture of the vorticity equation. This is formed by three elements which correspond to convection, vortex stretching and diffusion. The latter it is related with the viscosity of the fluid ν. To illustrate these effects, we add to an irrotational fluid a component that makes vorticity be nonzero and the fluid starts to rotate. We see 4 examples, which we divide on pairs. We first study the Euler case and then Navier-Stokes (adding diffusion). Then we shall analyse the convergence between both when ν -> 0. This analysis will be frequently repeated in the examples of chapters 3 and 4. In the third chapter we shall study steady solutions through the plane. For that, by the Poincare’s lemma or Helmholtz descomposition, we shall introduce the stream function, which we shall use for the Vorticity-Stream formulation of our equations under some conditions of regularity and vanishing sufficiently rapidly as |x| -> ∞. In this way we shall write the velocity depending on the vorticity, which it is possible to calculate solving the equation. Then our problem becomes only a Poisson equation. In this chapter we shall also study two kinds of fluids. First we shall look for radial solutions, that is, swirls, and then fluids with periocity on the two principals directions of the plane, which is the same that study it in the Torus T 2. In both of them it is considered viscous and not viscous cases to study later the convergence when ν -> 0. Finally we shall consider the so called Cat Eyes Fluids of Kelvin-Stuart, which possess periodicity with respect to one of the two directions. Vortex stretching and the deformation of a fluid in the space are two effects which are linked, one does not take place without the other one. In this way, in dimension 2, there are no deformation in relation to the space and the vorticity remains constant. This is one of the most importants differences between 2 and 3 dimensional fluids. In the fourth chapter we shall construct 3D solutions which show the vortex stretching and the consecuences based on some bidimensional solutions already calculated in previous chapters. In the first place, based on a 2D solution, we shall add a third component which depends on 2D, obtaining two and a half dimensional fluid. Next we shall focus in obtaining 3D steady solutions of Euler based on a 2D steady flow and study the Beltrami fluids. Based on periodic and steady flows of the third chapter, the examples that we shall see are an extension of the same ones to R3 by the Beltrami’s condition. Finally we shall calculate solutions with simmetry in relation with some axis, that is, we shall consider axisymmetric flows. When these solutions rotate, they are called swirls. For that it is necessary to reformulate the Navier-Stokes equations and the vorticity for these types of fluids. Although we shall treat it in a theorical way, we will only study some examples for the case with swirl velocity because of its own interest. These solutions are complex, because the swirl velocity and the vorticity stop being perpendicular to the plane on which they rotate and this makes that the swirl bend.Like it have been mentioned at the beginning of the abstract, nowaday there are a lot of problems to be understood for Euler and Navier-Stokes equations. For example, it is not know if, given a 3D solution which smooth initial data, the regularity is preserved in time or, if on the contrary, there is finite time blow-up. Finally, in chapter five we shall prove by an exact solution that Euler equations in Hölder spaces C α, with 0 < α < 1, are ill-posed.