Conjuntos críticos asociados a autotopismos no triviales de cuadrados latinos de orden seis

Abstract

Fijado un isotopismo Θ asociado al grupo simétrico Sn, se dice que un cuadrado latino parcial P de orden n es Θ-completable a un cuadrado latino L del mismo orden, si: (a) todas las entradas en P son entradas en L; y (b) Θ es un autotopismo de L. Si P no contiene un cuadrado latino parcial que satisfaga ambas condiciones, entonces se dice que P es un Θ-conjunto crítico de L. Si bien la clasificación de Θ-conjuntos críticos es conocida para cuadrados latinos de orden n ≤ 5, el caso n = 6 sólo se ha tratado parcialmente en la literatura. Más concretamente, sólo se dispone de la clasificación completa de conjuntos críticos asociados al autotopismo trivial en S6, así como de ciertas cotas para el menor y mayor tamaño posible de conjuntos críticos asociados a autotopismos no triviales. En este Trabajo Fin de Máster se va a realizar un estudio pormenorizado que permita demostrar la optimalidad de dichas cotas.

Given an isotopism Θ associated to the symmetric group Sn, a partial Latin square P of order n is said to be Θ-completable to a Latin square L of the same order if: (a) all the entries in P are entries in L; and (b) Θ is an autotopism of L. If P does not contain a partial Latin square satisfying both conditions, then P is said to be a Θ-critical set of L. Even if the classification of Θ-critical sets is known for Latin squares of order n ≤ 5, the case n = 6 has only partially been dealt with in the literature. More specifically, it is only known the complete classification of critical sets associated to the trivial autotopism in S6, and certain bounds for the lower and higher size of critical sets associated to non-trivial autotopisms. In this work, a comprehensive study enables one to ensure the tightness of the previous bounds.