El complejo camino entre los fractales de Julia y el fractal de Mandelbrot.

Abstract

El objetivo de este proyecto es demostrar la relaci´on entre los conjuntos de Julia para funciones polin´omicas de grado dos y el conjunto de Mandelbrot. Para ello, se definir´a los conjuntos de Julia para funciones polin´omicas y se demostrar´an las propiedades m´as caracter´ısticas de estos. Seguidamente, se aplicar´an estas conclusiones a funciones polin´omicas de grado dos de la forma f(z) = z2 + c y se definir´an el conjunto de Mandelbrot a partir de las ´orbitas de su punto cr´ıtico. Finalmente, se demostrar´a el Teorema que garantiza que el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c ∈ C para los cuales el conjunto de Julia asociado a la funci´on f(z) = z2 + c es conexo. The purpose of this project is to prove the relationship between Julia sets for quadratic mappings and the Mandelbrot set. To this aim, Julia sets for polynomial functions will be defined and their most characteristic properties will be proved. This analysis will be applied to quadratic mappings of the form f(z) = z2 + c and the Mandelbrot set will be defined using the orbits of its critical point. Finally, we will prove the Theorem that guarantees that the Mandelbrot set is the set of values c ∈ C for which the Julia set associated to the function f(z) = z2 + c is connected.