Propiedades diferenciales de familias de polinomios ortogonales matriciales y aplicaciones

Abstract

Una de las vías más fructíferas de aplicación de la teoría de polinomios ortogonales se produce a través de las ecuaciones diferenciales de segundo orden satisfechas por las familias clásicas de Hermite, Laguerre y Jacobi. Por citar un par de ejemplos significativos, se pueden encontrarlos en la modelización de los sistemas cuánticos básicos no relativistas —ecuación de Schrödinger—o en los problemas de equilibrio electrostático—con potencial logarítmico—. En el caso de la ortogonalidad matricial, hasta muy recientemente no se han descubierto las primeras familias de polinomios ortogonales matriciales que satisfacen ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes independientes del grado del polinomio. Además de ser autofunciones del correspondiente operador diferencial, los polinomios ortogonales lo son también de un operador en diferencias, propiedad ésta muy conveniente para los cálculos de las correspondientes entropías cuánticas y de información, así como de sus potenciales aplicaciones físico-cuánticas que se derivan del tipo de ecuaciones a resolver en los modelos cuánticos relativistas como, por ejemplo, la ecuación de Dirac. La presente memoria se inserta en la teoría de polinomios ortogonales matriciales verificando ecuaciones diferenciales. Las dos diferencias fundamentales entre el producto de matrices y el de números (no conmutatividad y existencia de matrices singulares) determinan, aparte de una mayor riqueza estructural, la aparición de nuevos fenómenos ausentes en los ejemplos clásicos escalares. Buena parte de los resultados principales de esta memoria consisten en haber puesto de manifiesto por primera vez algunos de estos fenómenos. Para ello, hemos desarrollado nuevos métodos para encontrar familias de polinomios ortogonales matriciales verificando ecuaciones diferenciales. Estos nuevos fenómenos son, por un lado, la existencia de varias familias distintas —en número infinito— de polinomios ortogonales matriciales que son autofunciones de un mismo operador diferencial de segundo orden, y, por otro lado, la existencia de familias de polinomios ortogonales matriciales —no reducible a escalares— verificando ecuaciones diferenciales de orden impar. Indagamos también en la naturaleza de otro fenómeno recientemente descubierto: la existencia de varios operadores diferenciales de segundo orden que tienen a una misma familia de polinomios ortogonales matriciales como autofunciones. Finalmente, aportamos una prometedora vía de aplicación de las nuevas familias a un tipo especial de procesos de vida y muerte, los llamados procesos quasi-birth-and-death.