Sobre los coeficientes de Taylor de una función univalente: de Bieberbach a De Branges

Abstract

El estudio de las funciones univalentes (holomorfas e inyectivas) en el disco unidad D, es un ´area de investigaci´on ya cl´asica en An´alisis Matem´atico que continua muy viva a d´ıa de hoy. El estudio de este tipo de funciones fue impulsado por la famosa conjetura de Bieberbach de 1916 (demostrada por De Branges en 1984) en la que se centra el presente trabajo. Recordemos que esta conjetura afirma que si f(z) = z+a2z 2+a3z 3+... es una funci´on anal´ıtica e inyectiva en el disco unidad, entonces |an| ≤ n para todo n´umero natural n, alcanz´andose la igualdad para alg´un n (o equivalentemente para todo n) solamente para una rotaci´on de la funci´on de Koebe k(z) = z (1 − z) 2 = X∞ n=1 nzn , z ∈ D. Tras un breve repaso de las propiedades elementales de funciones univalentes, dedicamos un cap´ıtulo al desarrollo de la teor´ıa de Loewner, de gran relevancia en esta ´area y una parte muy fundamental en la demostraci´on de De Branges de la Conjetura de Bieberbach. A continuaci´on, se revisan los polinomios de Jacobi as´ı como numerosas propiedades de los mismos para poder llegar a la demostraci´on del Teorema de Askey-Gasper, un teorema esencial para la prueba de la Conjetura de Bieberbach. Por ´ultimo, en el cuarto cap´ıtulo mostramos que la Conjetura de Milin implica la de Bieberbach y, haciendo uso de las funciones especiales de De Branges, mostramos la veracidad de la Conjetura de Milin.

The study of univalent functions (holomorphic and injective) in the unit disk D, is a classic area of research in Mathematical Analysis that is still very much alive today. The study of this type of functions was driven by the famous Bieberbach conjecture of 1916 (proved by De Branges in 1984) on which the present work is focused. Recall that this conjecture states that if f(z) = z +a2z 2 +a3z 3 +... is an analytic and injective function on the unit disk, then |an| ≤ n for every number natural n, equality being achieved for some n (or equivalently for all n) only for a rotation of the Koebe function k(z) = z (1 − z) 2 = X∞ n=1 nzn , z ∈ D. After a brief review of the elementary properties of univalent functions, we dedicate a chapter to the development of Loewner’s theory, of great relevance in this area and a very fundamental part of De Branges’ proof of the Bieberbach Conjecture. Next, the Jacobi polynomials are reviewed, as well as numerous properties of them, in order to arrive at the proof of the Askey-Gasper Theorem, an essential theorem for the proof of the Bieberbach Conjecture. Finally, in the fourth chapter we show that the Milin Conjecture implies the Bieberbach Conjecture and, making use of the special De Branges functions, we show the truth of the Milin Conjecture.