Las conjeturas de Tait

Abstract

In the late 19th century, Peter Guthrie Tait asserted three properties of alternating link diagrams, which are known today as Tait’s conjectures. These assertions remained open for about 100 years until the discovery of a new link invariant, the Jones polynomial, in 1985. In 1986, L. H. Kauffman, K. Murasugi and M. B. Thistlethwaite gave, independently, the proof of the Tait’s First conjecture. Also in the same year, Tait’s Second conjecture was proven independently by Murasugi and Thistlethwaite. Finally, in 1993, W. Menasco and Thistlethwaite proved the Tait’s Third conjecture. In 2017, J. E. Greene gave the first geometric proof of the Tait’s Second conjecture. Using his work, in 2020, the first geometric proof of the Tait’s Third conjecture was given by T. Kindred. In this work we present a proof for each of the Tait’s conjectures. The exposition is based on Kauffman’s proof of the Tait’s First conjecture, Murasugi’s proof of the Tait’s Second conjecture and Kindred’s proof of the Tait’s Third conjecture.

A finales del siglo XIX, Peter Guthrie Tait conjeturó tres propiedades que debían cumplir los diagramas alternantes, que pasaron a conocerse como las Conjeturas de Tait. Estas afirmaciones estuvieron sin demostrar durante aproximadamente 100 años, hasta el descubrimiento de un nuevo invariante de enlace, el polinomio de Jones, en 1985. En 1986, L. H. Kauffman, K. Murasugi y M. B. Thistlethwaite probaron, de manera independiente, la Primera conjetura de Tait. En ese mismo año, Murasugi y Thistlethwaite probaron, también de manera independiente, la Segunda conjetura de Tait. Finalmente, la Tercera conjetura de Tait fure probada en 1993 porW. Menasco y Thistlethwaite. En 2017, J. E. Greene dio la primera prueba totalmente geométrica de la Segunda conjetura. Usando este trabajo, T. Kindred demostró también de manera completamente geométrica la Tercera conjetura de Tait. En este trabajo se muestran las pruebas de las conjeturas de Tait (hoy convertidas en teoremas). Para ello, nos basaremos en la prueba de Kauffman de la Primera conjetura de Tait, la prueba de Murasugi de la Segunda conjetura de Tait y la prueba de Kindred de la Tercera conjetura de Tait.