Reduced Basis Method applied to the Smagorinsky Turbulence Model

Abstract

This PhD dissertation addresses the numerical simulation of models that simulate the behavior of turbulent flows through reduced-order techniques. The numerical simulation of this kind of flows is complex and pricey, as well as necessary to the Eco-efficient building optimized design, among many others applications in engineering and architecture. The integration of reduced-order techniques is the key to reducing by orders of magnitude the time and computational cost in the numerical simulation of these problems. In this dissertation, we use the Smagorinsky model, a Large Eddy Simulation (LES) model based upon the Navier-Stokes equations that allows for the resolution of turbulent flows with coarser meshes. Even then, the computational cost is high, especially in 3D cases. With respect to the Reduced Order Model (ROM), there exist some techniques to obtain the ROM. In this dissertation, we focus on the development of Reduced Basis (RB) method. Upon an ancillary basis, we shall use Proper Orthogonal Decomposition (POD). For ROM obtainment, it is necessary to compute the error between the approximated model and the reduced model through the RB method, which could become very expensive and complex. This is the reason to study a posteriori estimates to estimate the error and which computation is faster. The Smagorinsky model is non-linear since it is derived by the Navier-Stokes equations and the estimator development for non-linear problems requires the use of adapted mathematical techniques. For steady non-linear models, we find estimates based on the Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) theory of non-singular branches approximation of parametric non-linear problems. It is a theory essentially based upon the Implicit function theorem. This estimator has already been developed for steady flows, although it has only be applied to 2D flows. Therefore, we shall start applying this estimator to the 3D case, obtaining large reductions in time and computational cost. We also apply this estimator to a realistic design problem for a cloister focused on the thermal comfort optimization of the ground floor. The parameters to consider for the problem are the height and width of the corridors around the cloister. We obtain an optimal answer by analyzing 625 possibilities in 16 minutes. One of the main challenges addressed in this dissertation is to extend the a posteriori estimator to unsteady problems. To start, it is necessary to analyze previous studies on a priori estimations that involve velocity and pressure. Thus, we are able to develop an a posteriori estimator under some hypothesis. Furthermore, we develop an alternative based Kolmogórov’s theory of statistical equilibrium, based on the existence of an energy cascade that spreads the energy from large eddies to the smallest ones, dissipating the energy thanks to viscosity. This cascade generates an inertial energy spectrum with a determined shape that we use as the estimator. We have validated this estimator with an academic test, using a POD+Greedy strategy. We obtain similar results using the estimator and the committed real error.

Esta tesis se enmarca en la resolución numérica de modelos que simulan el comportamiento de flujos turbulentos mediante técnicas de orden reducido. La resolución numérica de este tipo de flujos es compleja y costosa, a la par que necesaria para el diseño óptimo de edificios eco-eficientes, entre otras muchas aplicaciones en ingeniería y arquitectura. La incorporación de técnicas de Orden Reducido es clave para la reducción en órdenes de magnitud el tiempo y coste computacional en la resolución numérica de estos problemas. En esta tesis utilizaremos el modelo de Smagorinsky, un modelo de turbulencia de tipo LES (Large Eddy Simulation) basado en las ecuaciones de Navier-Stokes que permite la resolución de flujo turbulento sin la necesidad de mallas muy finas. Aún así, el coste computacional es elevado, sobre todo en casos 3D. Dentro de la modelización de orden reducido, existen varias técnicas que permiten la obtención del modelo reducido. En esta tesis nos centramos en el desarrollo de métodos de Bases Reducidas (BR). Usaremos de forma auxiliar la “Proper Orthogonal Decomposition” (POD). Para la obtención del modelo reducido, es necesario el cálculo del error entre el modelo aproximado y el modelo reducido mediante el método BR, lo cuál puede llegar a ser muy costoso y complejo. Es por ello que se estudia la deducción de estimadores a posteriori que permiten estimar este error y cuyo cálculo sea más rápido. El modelo de Smagorinsky es no lineal ya que deriva de las ecuaciones de Navier-Stokes y el desarrollo de estimadores para problemas no lineales requiere la utilización de técnicas matemáticas adaptadas. Para un modelo estacionario no lineal, encontramos estimadores basados en la teoría Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) de aproximación de ramas no singulares de problemas no lineales paramétricos. Es una teoría esencialmente basada sobre el teorema de la función implícita. Este estimador ha sido ya elaborado para flujos estacionarios, aunque solo se ha aplicado a flujos 2D. Por lo que, comenzamos aplicando este estimador a un caso 3D, obteniendo grandes reducciones en cuanto a tiempo y coste computacional. También aplicamos este estimador a un problema realista de diseño de claustros orientado a la optimización del confort térmico en la planta baja. Los parámetros a considerar para el problema son la altura y anchura del pasillo que rodea el claustro. Conseguimos obtener una respuesta óptima analizando 625 posibilidades en 16 minutos. Uno de los principales desafíos que abordamos es extender la obtención de estimadores a posteriori a problemas no estacionarios. Para empezar, es necesario realizar estudios previos sobre estimaciones a priori que involucren a la velocidad y presión. Así, somos capaces de desarrollar un estimador a posteriori asumiendo ciertas hipótesis. Por otro lado, desarrollamos una alternativa basándonos en la teoría de turbulencia en equilibrio estadístico de Kolmogórov, por la cuál sabemos que existe una cascada de energía que se propaga desde los grandes torbellinos hacia los más pequeños disipando la energía en ellos gracias a la viscosidad. Esta cascada genera un espectro de energía inercial con una forma determinada que utilizamos como estimador. Validamos dicho estimador con un test académico, utilizando una estrategia POD+Greedy, obteniendo resultados similares utilizando el estimador y el error real cometido.