Polinomio de Jones y homología de Khovanov de nudos y enlaces : versión clásica y anular

Abstract

Este trabajo se encuentra dentro de la Teoría de Nudos. En él, se presentan dos de los invariantes más relevantes de esta área, por haber supuesto grandes avances en el problema de clasicación de nudos y enlaces: el polinomio de Jones, introducido por Vaughan Jones en 1984 y la homología de Khovanov, el primer invariante homológico, introducido por Mikhail Khovanov en el año 2000 como una categoricación del polinomio de Jones. Comenzamos con una revisión de los conceptos básicos de Teoría de Nudos y de homología y cohomología clásicas. Posteriormente, se define el polinomio de Jones a partir de la aproximación de Kauman, se demuestra su invarianza y se exponen algunas de sus propiedades principales. A continuación se introduce la homología de Khovanov exponiendo algunas de sus propiedades y probando su invarianza. También se muestra el cálculo de la homología de Khovanov del nudo trébol a izquierda. La última parte de este trabajo está dedicada al estudio de estos invariantes en el caso anular, esto es, cuando se consideran los enlaces en el anillo engrosado A × I.

This work falls within Knot Theory. We present two of the most relevant invariants in this area. They have represented great advances in the problem of classi cation of knots and links: Jones polynomial, introduced by Vaughan Jones in 1984 and Khovanov homology, the rst homological invariant, introduced by Mikhail Khovanov in 2000 as a categori cation of the Jones polynomial. We start with a review of some basic concepts of Knot Theory and classical homology and cohomology. Subsequently, we de ne Jones polynomial following Kau man approach, we prove its invariance and present some of its main properties. Then, we introduce Khovanov homology, present some of its properties and prove that it is a link invariant. We also compute Khovanov homology of the left-handed trefoil knot. The last part of this work is devoted to the study of these invariants in the annular setting, that is, when links are considered in the thickened annulus A × I.