On the Categorical Theory of Persistence Modules

Abstract

¿Cómo se infieren formas a partir de datos? Se pueden emplear técnicas del álgebra y la topología computacional para responder a esta pregunta, dando lugar al análisis topológico de datos (TDA), un campo que experimenta actualmente un gran crecimiento. La homología persistente es una herramienta clave en TDA que computa características topológicas de un espacio en diferentes resoluciones espaciales a partir de la construcción de complejos simpliciales y su caracterización. Esta herramienta tiene aplicaciones en varias áreas de la matemáticas aplicada y una base teórica sólida formalizada en el marco de la teoría de categorías. En esta tesis hacemos una revisión de la teoría en torno a uno de los pilares centrales de la homología persistente, los módulos de persistencia. Examinamos la descomposición y comparación de estos y teoremas de estabilidad relacionados. En este proceso, nos centramos en buscar el enfoque matemático más útil para expresar estas ideas, que quedan cohesionados por la teoría de categorías. Además de la literatura revisada, también aportamos una serie de contribuciones propias en materia de una construcción particular de módulos de persistencia denominados módulos escalera (ladder modules). Asimismo, presentamos este trabajo de forma lo más autocontenida posible, para que sirva de introducción fluida tanto a esta vertiente de la teoría de categorías como a los conceptos de homología persistente aquí empleados.

How is shape infered from data? Algebraic and topological techniques can be employed computationally to answer this question, giving birth to the fast growing field of topological data analysis (TDA). Persistent homology is a key tool in TDA that computes topological features of a space at different spatial resolutions from the construction of simplicial complexes and their characterization. It has both a broad applicability in various areas of applied mathematics and a strong theoretical base that has been formalized in the framework of category theory. In this thesis we review the theory around one of persistent homology’s key elements: persistence modules. We examine their decomposition and comparison and related stability theorems. Along the way, we focus on finding the most useful mathematical language to convey these ideas, which end up being glued by category theory. In addition to the reviewed literature on persistent homology, we also add some contributions of our own regarding ladder modules, a particular construction of persistence modules. Furthermore, we present this work in a self-contained way, to serve as a painless introduction both to this side of category theory and to persistent homology.