Laplacianas de digrafos y topologías de Alexandrov

Abstract

La teoría algebraica de grafos se ocupa de la relación entre las propiedades de la estructura combinatoria de un grafo y aquellas de los objetos algebraicos (polinomios, matrices, etc.) construidos a partir de ella. Cuando las aristas del grafo están dotadas de una dirección, lo que se conoce como un digrafo, de la combinatoria de ese grafo surge una estructura de orden o, equivalentemente, una estructura topológica. De esta manera la teoría algebraica de los digrafos tiene una lectura múltiple según el lenguaje matemático elegido. Este trabajo quiere ser una breve ilustración de este hecho: empieza con la equivalencia entre las facetas combinatoria, ordinal y topológica de un digrafo y concluye con una exposición detallada de los resultados del artículo, donde se establecen propiedades de las matrices laplacianas de entrada y salida de un digrafo en términos del espacio topológico asociado al digrafo. También se indica un camino para tratar los digrafos localmente finitos.

Algebraic Graph Theory deals with the relationship between the properties of the combinatorial structure of a graph and the properties of the algebraic objects (polynomials, matrices, etc.) derived from latter. When the edges of a graph are endowed of a direction (i.e., a digraph) the combinatorics of that graph yields an order structure or, equivalently a topological structure. This way the algebraic theory of digraphs has a variety of approaches, according to the chosen mathematical language. This work intends to be a brief survey of this fact: it starts with the equivalences among the combinatorial, order and topological faces of a digraph and it ends with a detailed exposition of the results from [Aaron Ostrander, Laplacian matrices and Alexandrov topologies of digraphs, Linear Algebra Appl. 481 (2015) 174-185], where some properties of the outward and inward laplacian matrices of a digraph are stated in terms of the topological space associated to the digraph. The case of locally finite digraphs is suggested.