Sous-groupes paraboliques et généricité dans les groupes d'Artin-Tits de type sphérique.

Abstract

En la primera parte de esta tesis estudiamos la conjetura de genericidad: En el grafo de Cayley del mapping class group de una superficie cerrada, consideramos una bola de radio suficientemente grande centrada en el elemento identidad, y miramos la proporción de elementos pseudo-Anosov dentro de esta bola. La conjetura de genericidad nos dice que esta proporción debe tender a une cuando el radio de la bola tiende a infinito. Probamos que esta proporción es mayor que cero y probamos resultados similares para subgrupos del mapping class group. También presentamos resultados análogos para grupos de Artin-Tits de tipo esférico, en cuyo caso ser pseudo-Anosov se corresponde con ser un elemento que actúa loxodrómicamente. En la segunda parte damos nuevos resultados sobre subgrupos parabólicos de los grupos de Artin-Tits de tipo esférico: El estandarizador minimal de una curva en el disco agujereado es la mínima trenza positiva que la transforma en una curva redonda. Construimos un algoritmo para calcular este elemento de una manera geométrica. Después generalizamos este problema a los subgrupos parabólicos de los grupos de Artin-Tits de tipo esférico. También demostramos que la intersección de dos subgrupos parabólicos es un subgrupo parabólico y que el conjunto de subgrupos parabólicos forma un retículo con respecto a la inclusión. Finalmente, definimos el complejo simplicial de los subgrupos parabólicos irreducibles y lo proponemos como análogo al complejo de curvas utilizado para los mapping class groups.