Nuevos resultados sobre el problema de Navier-Stokes con densidad variable y algunas variantes: Existencia, unicidad, otros resultados teóricos y aproximación numérica

Abstract

Haremos a continuación una breve descripción de cada uno de los Capítulos de los que consta esta Memoria. Comenzamos el Capítulo 1 con una Sección de resultados técnicos que vamos a utilizar repetidamente. Merece la pena destacar de entre ellos una versión distribucional del Lema de De Rham junto (cf. [59]) junto con otra de regularidad (cf. el Apéndice A para Demostración) y algunos resultados de existencia y unicidad para (PT) (cf. [14]). En la segunda Sección del Capítulo, introducimos el problema (NSDV). Enunciamos un resultado general de existencia de solución débil, junto con otros dos de regularidad global en (0, +∞). La Demostración de estos resultados se presenta posteriormente, dividida en tres partes (la existencia de solución aproximada está recogida en el Apéndice B). En el resto de los casos de la Memoria que siguen un proceso “similar”, se hará referencia a esta Demostración. A continuación, pasamos a considerar dos nuevas situaciones: Aquella en la que el coeficiente de viscosidad μ es variable (más precisamente, depende continuamente de p) y aquella en la que u debe satisfacer condiciones de contorno no homogéneas (u = g sobre ƩT). En el primer caso, hay que comenzar introduciendo las nuevas ecuaciones a resolver, ya que la ecuación de movimiento han de ser modificada. Posteriormente, un adecuado tratamiento sobre estos nuevos términos será necesario para poder continuar con las estimaciones de las soluciones aproximadas; un análisis distinto sobre su convergencia será efectuado. En el segundo caso, por simplicidad, hemos separado los resultados en dos partes; una primera para datos g independientes de t, donde la Demostración resulta menos costosa y una segunda parte donde se contempla la situación general. Antes de nada, hay que realizar un adecuado levantamiento de g para que, mediante un sencillo cambio de variable, podamos pasar a un problema con condiciones de contorno homogéneas. Por el camino y causa de las no linealidades, aparecen nuevos términos que es necesario acotar. El Capítulo 2 comienza con diversas consideraciones sobre la existencia de solución semi-fuerte del modelo (NSDV). Después de una descripción de los resultados conocidos más interesantes, nos centramos en obtener soluciones que sean semi-fuertes en todo (0, +∞) y en analizar un comportamiento cualitativo exponencialmente decreciente de las mismas, en ausencia de fuerzas exteriores. Seguidamente, atacamos la cuestión de la unicidad de solución semi-fuerte y de solución fuerte. De nuevo, detallamos los resultados conocidos más interesantes sobre el tema, que tienen la característica común de imponer la existencia de una solución regular. Esto justifica la presentación de un nuevo resultado, en el cual se intenta exigir la hipótesis de regularidad más débiles posibles. En la última Sección del Capítulo 2, se presenta el modelo de Stokes con densidad variable (SDV). Después de justificar esta introducción, presentamos resultados de existencia y de unicidad de solución. Como las Demostraciones están basadas en la aplicación de un método de viscosidad, se necesita un estudio previo de (PTD). Comenzamos el Capítulo 3 con una Sección donde se deduce el modelo con difusión de masa a partir de una situación física concreta (mezcla de dos fluidos incompresibles y homogéneos con densidades constantes y distintas), analizando las nuevas variables auxiliares que aparecen. A continuación, se presentan los resultados conocidos más interesantes sobre el modelo, tanto en el caso de (DMr) (para pequeño coeficiente de difusión) como para (DM). Un resultado de existencia de una solución débil global de (DMr), sin restricciones sobre la cota inferior de p0, será enunciado y demostrado en la Sección siguiente. Para ello, habrán de utilizarse argumentos similares a los necesitados para (NSDV), cambiando ahora (PT) por (PTD) (más regular incluso), pero en cambio apareciendo nuevos términos no lineales en la ecuación de movimiento. En la última Sección del Capítulo 3, se demuestra la convergencia de las soluciones débiles de (DMr) hacia una solución débil de (NSDV). Para ello, será fundamental acotar con independencia de λ las soluciones de (DMr). Finalizamos la Memoria con el Capítulo 4, donde describimos algunos posibles esquemas de aproximación numérica para (NSDV), tal como ha quedado dicho en la Sección precedente.