Resumen | Una aplicaci on T de nida de un espacio m etrico M en M se dice no expansiva si d(Tx; Ty) d(x; y) para todo x; y 2 M. Diremos que un espacio
de Banach X tiene la Propiedad D ebil del Punto Fijo (w-FPP) si para toda
aplicaci ...
Una aplicaci on T de nida de un espacio m etrico M en M se dice no expansiva si d(Tx; Ty) d(x; y) para todo x; y 2 M. Diremos que un espacio
de Banach X tiene la Propiedad D ebil del Punto Fijo (w-FPP) si para toda
aplicaci on no expansiva T de nida de un subconjunto d ebilmente compacto
convexo C de X en C tiene un punto jo. En esta disertaci on, estudiamos
principalmente la w-FPP como una propiedad gen erica en el conjunto de
todas las normas equivalentes de un espacio de Banach re
exivo dado. Una propiedad P se dice gen erica en un conjunto A si todos los elementos de A satisfacen P excepto aquellos pertenecientes a un conjunto de tama~no peque~no. Con el n de establecer los resultados de este trabajo, consideraremos varias nociones de conjuntos peque~nos, como por ejemplo los conjuntos de Baire de primera categor a, conjuntos porosos, conjuntos nulos Gausianos o conjuntos direccionalmente porosos. M. Fabian, L. Zaj ^cek y V. Zizler probaron que casi todos los renormamientos de un espacio uniformemente convexo en cada direcci on (UCED), en el sentido de la categor a de Baire, son tambi en UCED. Debido al resultado
de M.M. Day, R.C. James y S. Swaminathan, todo espacio de Banach separable admite una norma equivalente que es uniformemente convexa en cada direcci on. Puesto que esta propiedad geom etrica implica la FPP, obtenemos la siguiente conclusi on: Si X es un espacio de Banach re
exivo separable, entonces casi todos los renormamientos de X satisfacen la w-FPP. Este m etodo no es v alido para el caso de los espacios re
exivos no separables. Sin embargo, recientemente T. Dom nguez Benavides ha probado que todo espacio de Banach que pueda ser sumergido en c0(��), donde �� es un conjunto arbitrario ( en particular, todo espacio re
exivo) puede ser renormado para tener la w-FPP. N otese que que el espacio c0(��) no es renormable UCED cuando �� es no numerable, pero satisface la w-FPP porque R(c0(��)) < 2, donde R ( ) es el coe ciente de Garc a-Falset y todo espacio de Banach X con R(X) < 2 satisface la w-FPP. Usando la misma inmersi on, obtenemos el siguiente resultado:
Sea X un espacio de Banach tal que para alg un conjunto �� existe
una aplicaci on continua lineal uno a uno J : X ! c0(��). Entonces, casi
todas las normas equivalentes q en X (en el sentido de la categor a de Baire) satisfacen la siguiente propiedad: Toda aplicaci on q-no-ex.pansiva, de nida desde un subconjunto convexo d ebilmente compacto C de X, en C, tiene un punto jo. En particular, si X es re exivo, entonces el espacio (X; q) satisface la FPP. Adem as, extendemos este resultado a cualquier espacio de Banach que pueda ser sumergido en un espacio de Banach Y , m as general que c0(��) y que satisfaga R(Y ) < 2. Probamos que si X es un espacio de Banach satisfaciendo R(Y ) < 2 y X un espacio de Banach que pueda ser sumergido en Y de manera continua, entonces X puede ser renormado para satisfacer la w-FPP y el conjunto de todas las renormas en X, que no satisfacen la w-FPP, es de primera categor a. En el caso del espacio C(K), donde K es un conjunto disperso tal que K(!) = ;, obtendremos que existe una norma j j que es equivalente a la norma del supremo y R(C(K); j j) < 2 (luego tiene la w-FPP). Adem as, casi todas las normas equivalentes a la norma del supremo (en el sentido de la porosidad) tambi en satisfacen la w-FPP.
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