Sumas de Gauss y funciones zeta de hipersuperficies diagonales

Abstract

A lo largo de este trabajo abordaremos algunos casos particulares de las conjeturas de Weil. En primer lugar estudiaremos la definición de función zeta de una variedad y la formulación de las conjeturas de Weil, con su respectiva motivación. Seguidamente, introduciremos toda la teoría de sumas de Gauss y de Jacobi, partiendo de la base de la teoría de caracteres de un grupo abeliano, para obtener resultados sobre el cálculo del número de puntos de ciertas variedades sobre cuerpos de característica positiva (y veremos por el camino otra aplicación de las sumas de Gauss: la demostración de la ley de reciprocidad cuadrática). Finalmente probaremos la relación de Hasse-Davenport, que nos permite elevar sumas de un cuerpo base a sus extensiones. En el tercer capítulo, siguiendo la línea de Weil, utilizaremos sumas exponenciales para hallar el número de puntos de una hipersuperficie diagonal afín, es decir, dada por la ecuación a1xk11 + a2xk22 +··· + anx kn n = a. A partir de este resultado, mediante ciertas consideraciones sobre los exponentes, estaremos en condiciones de escribir de manera explícita el número de puntos de una hipersuperficie diagonal proyectiva, y comprobar que en efecto se cumplen las conjeturas de Weil. Finalmente, utilizaremos herramientas más avanzadas de geometría algebraica para esbozar la prueba de las conjeturas de Weil para curvas proyectivas, dando por conocidos algunos resultados de mayor profundidad como el teorema de Riemann-Roch o la dualidad de Serre.

Throughout this dissertation we will be addressing several particular instances of the Weil conjectures. First we will study the definition of the zeta function of a variety and the formulation (and the motivation) of the Weil conjectures. Afterwards, we introduce the theory Gauss and Jacobi sums, starting from the theory of characters of an abelian group, to get results on the number of points of certain varieties over fields of positive characteristic (developping on the way another application of Gauss sums: the law of quadratic reciprocity). We also prove the celebrated Hasse–Davenport relation, that allows us to lift sums from a base field to its extensions. In the third chapter, following Weil’s path, we use exponential sums to find the number of affine points in a diagonal hypersurface defined by a1xk11 + a2xk22 +··· + anx kn n = a. From this result, by studying the behavior with respect to the exponents, we can describe the number of projective points of the homogeneization of the variety, which allows us to find the zeta function and check that the four conjectures by Weil are indeed true. Finally, we use some more advanced tools from algebraic geometry to sketch the proof of the Weil conjectures for curves, without proving some results like the Riemann-Roch theorem or Serre duality.