Aproximación en variable compleja

Abstract

In the late Nineteenth Century, Weierstrass showed that any continuous real function in a compact can be uniformly approximated by polynomials, but this theorem is not valid for complex functions. In this context, Runge published his result of approximation of functions by both rational functions and polynomials, which marked the beginning of the Aproximation Theory in Complex Variable. In 1951 Mergelyan generalized Runge’s result of approximating by polynomials requiring more general assumptions. This dissertation is divided in four chapters. The first one, with the clear objective of being self-contained, will briefly recall the basic notions of complex analysis, topology and functional analysis which will be used in later chapters. The second Chapter is devoted to Runge’s Theorem. Based on some necessary previous ideas such as Riemann sphere or oriented intervals sets, we will be able to state and prove this theorem. Then we introduce some direct consequences from it, such as Mittag-Leffler theorem, and a characterization of simply connected regions. The third chapter will focus on Mergelyan’s theorem. We will need to define the class S of holomorphic functions at the unit disk with some properties. In addition, we will prove some previous lemas, such as Tietze extension theorem, in order to ease the understability of Mergelyan’s proof. The report finishes with some applications of the two main theorems: Runge and Mergelyan theorems; for instance, Birkhoff’s proof about hypercyclicity of translation operator.

A finales del siglo XIX, Weierstrass demostró que cualquier función real continua en un compacto podía ser aproximada uniformemente por polinomios, pero este teorema no resulta válido para funciones complejas. En este contexto, Runge publicó su resultado de aproximación de funciones por funciones racionales y por polinomios, el cual supuso el comienzo de la Teoría de Aproximación en Variable Compleja. Posteriormente Mergelyan, en 1951, generalizó el resultado de Runge aproximando por polinomios en condiciones algo más generales. Este trabajo se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, con el claro objetivo de que la lectura sea autocontenida, haremos un breve recordatorio de las nociones básicas de Análisis Complejo, Topología y Análisis Funcional que se usarán en los capítulos posteriores. El segundo Capítulo se dedica al Teorema de Runge. Partiendo de algunas ideas previas necesarias como son la esfera de Riemann o los conjuntos de intervalos orientados estaremos en condiciones de enunciar y demostrar dicho teorema. Introduciremos entonces algunas consecuencias directas como el Teorema de Mittag-Leffler y la caracterización de regiones simplemente conexas. En el Capítulo tercero nos centraremos en el Teorema de Mergelyan. Para ello nos será necesaria definir la clase S de funciones holomorfas en el disco unidad que cumplen ciertas propiedades. Además probaremos algunos lemas previos, como puede ser el de extensión de Tietze, para facilitar la comprensión de la demostración de Mergelyan. La Memoria finaliza presentando una serie de aplicaciones de los dos teoremas fundamentales del trabajo: el Teorema de Runge y el Teorema de Mergelyan. Una de ellas es la prueba de Birkhoff sobre la hiperciclicidad del operador de traslación, lo cual nos hará introducirnos previamente en el concepto de caos y, cómo no, el de hiperciclicidad.