On the dimension of discrete valuations of k ((X1, ..., Xn))

Abstract

Let v be a rank-one discrete valuation of the field Kn=k((X1,…,Xn)). We know, after [1], that if n=2 then the dimension of v is 1 and if v is the usual order function over k((X1,…,Xn)) its dimension is n−1. In this paper we prove that, in the general case, the dimension of a rank-one discrete valuation can be any number between 1 and n−1.

Soit v une valuation discrète de rang 1 sur le corps Kn=k((X1,…,Xn)). On sait que si n=2, la dimension de v est égal à 1 et si v est la fonction d'ordre sur k((X1,…,Xn)), sa dimension est égal à n−1 (voir [1]). Dans cette Note on montre qu'il existe une valuation discrète de rang 1 sur Kn de dimension m pour tout m, 1⩽m⩽n−1.