Very weak solutions for the stationary Oseen and Navier–Stokes equations

Abstract

We consider the stationary Oseen and Navier–Stokes equations in a bounded connected domain of class C1,1 of R3. Here we give a new and simpler proof of the existence of very weak solutions (u, q) ∈ Lp(Ω)×W−1,p(Ω) corresponding to boundary data in W−1/p,p(Γ ). These solutions are obtained without imposing smallness assumptions on the exterior forces. We also obtain regularity results in fractional Sobolev spaces.

Nous considerons les equations stationnaires d’Oseen et de Navier–Stokes dans un ouvert borne connexe et de classe C1,1 de R3. Nous donnons ici une nouvelle preuve plus simple de l’existence de solutions tres faibles (u, q) ∈ Lp(Ω) × W−1,p(Ω) correspondant a des donnees au bord dans W−1/p,p(Γ ). Ces solutions sont obtenues sans hypothese de petitesse des forces exterieures. On obtient aussi des resultats de regularite dans des espaces de Sobolev fractionnaires.