Grafos contractibles a un grafo completo

Abstract

Los objetivos de esta tesis se pueden enmarcar dentro de la Teoría Extremal de Grafos. Uno de los problemas más conocidos en este ámbito es el denominado Problema de Turán consistente en estudiar el tamaño posible de un grafo libre de subgrafos completos. Asimismo, han ido apareciendo a lo largo de los últimos años distintos problemas extremales com o extensión o generalización del Problema de Turán. Es este tipo de problemas en el que se centra el estudio que reflejado en esta memoria. En particular, se analiza una de dichas extensiones denominada Problema de Turán con contracción de aristas o Problema de Turán para menores completos, en la que se trata de obtener el mayor tamaño posible de un grafo de orden n no contractible aun grafo completo de orden p, es decir, sin contener un subgrafo a partir del cual se pueda obtener un grafo completo con p vértices mediante una cantidad finita de contracciones de aristas. Paralelamente, como en todo problema extremal, se plantea la cuestión de caracterizar aquellos grafos que alcancen dicho valor extremo, denominados grafos extremales. También se estudian dos generalizaciones del Problema de Turán a grafos bipartitos: el Problema de Zarankiewicz y el Problema de Turán en grafos bipartitos. En este caso se trata de obtener el mayor número de aristas en un grafo bipartito de modo que no contenga un subgrafo bipartito completo Ks,t.