Invariantes integrales en grupos de Lie

Abstract

En este trabajo, damos el cálculo de longitudes de curvas y n-medidas de n-superficies contenidas en un grupo de LIE, por un procedimiento original. Por construcción estas medidas son invariantes a izquierda por elementos de G (Grupo de LIE ambiente). A continua ... En el cálculo de estas medidas, hemos partido de las definiciones de vector integral de una curva y n-vector integral de una n-superficie dadas por Radziszewski, habiendo obtenido las condiciones bajo las cuales dicho vector y n-vector, son invariantes a derecha por elementos de G.La forma de hallar longitudes y n-medidas consiste en trasladar a izquierda una porción infinitesimal de curva (o n-superficies), consiguiendo que uno de los vértices coincida con el punto unidad del grupo base. El arco infinitesimal trasladado (o cada uno de los n arcos infinitesimales de la n-superficie trasladada), define un subgrupo uniparamétrico, y este a su vez un vector en el espacio tangente Te (G), del que definimos como módulo el dado por la métrica euclidea en dicho espacio tangente. La longitud de un arco de curva será por tanto, la suma de los módulos de los vectores correspondientes a cada arco infinitesimal de la partición. Esta suma se calculará por medio de una integral al tender a cero la longitud de los intervalos de la partición considerada. De forma parecida procedemos con una n-superficie, resultando la longitud como caso particular de n-medida con n=1.El trabajo queda dividido claramente en tres partes; la primera referente a curvas; la segunda a n-superficies, y la tercera reservada a realizar medidas sobre espacios homogéneos. Cada una de estas, da lugar a un Capítulo.Hemos añadido en todos los casos ejemplos seleccionados en los cuales se aplican las teorías expuestas.