Tesis (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki))
https://hdl.handle.net/11441/10982
2024-03-19T02:59:03ZDynamics and bifurcations in nonlinear systems with hysteresis.
https://hdl.handle.net/11441/84031
Dynamics and bifurcations in nonlinear systems with hysteresis.
The main objective of this thesis is to determine periodic solutions and
possible bifurcations in a family of dynamical systems with hysteresis. In par-
ticular, we analyze a concrete family of slow-fast piecewise linear systems in
three dimensions, which after introducing a hysteretic function, is embedded
in two dimensions.
In Chapter 1, we introduce the tridimensional piecewise linear systems
to be studied. Then, we reduce their dimension thanks to a relaxation hy-
pothesis. Moreover, we show a normalized canonical form which allows us to
decrease the number of parameters.
In Chapter 2, we analyze the case where the hysteretic system has no
isolated equilibria, that is, when one of the eigenvalues of the planar system
is zero. We detect some relevant bifurcations as a saddle-node bifurcation of
periodic orbits and a bifurcation from in nity.
In Chapters 3 and 4, we study the non-zero real eigenvalues cases, giving
rise to equilibria of node, saddle or improper node type. Bifurcations as
saddle-node of periodic orbits, homoclinic and heteroclinic bifurcations are
analytically described. We detect also, some regions on the parameter plane
where the existence of four periodic orbits is possible.
In Chapter 5 we focus on the complex eigenvalues case, that is, when
the equilibria are centre or focus type. For the centre case, the dynamics is
completely determined and we can detect similar bifurcations as the obtained
in previous chapters. The focus case is tackled in a diferent way. In this last
case, our aim will be to obtain conditions for which the parameters lead to
an instantaneous transition to chaotic behaviour.
Finally, after a conclusions chapter, we include some non-generic cases in
appendices A and B.
2019-03-04T00:00:00ZClassification and regression with functional data: a mathematical optimization approach.
https://hdl.handle.net/11441/83268
Classification and regression with functional data: a mathematical optimization approach.
El objetivo de esta tesis doctoral es desarrollar nuevos métodos para la clasificación y regresión supervisada en el Análisis de Datos Funcionales. En particular, las herramientas de Optimización Matemática analizadas en esta tesis explotan la naturaleza funcional de los datos, dando lugar a nuevas técnicas que pueden mejorar los métodos clásicos y que conectan las matemáticas con las aplicaciones. El Capítulo 1 presenta las ideas generales, los retos y la notación usada a lo largo de la tesis.
El Capítulo 2 trata el problema de seleccionar el conjunto finito de instantes de tiempo que mejor clasifica datos funcionales multivariados en dos clases predefinidas. El uso, no sólo de la información proporcionada por la propia función, sino también por sus derivadas será decisivo para mejorar la predicción, como se pondrá de manifiesto posteriormente. Para ello se formula un problema de optimización binivel continuo. Dicho problema combina la aplicación de la conocida técnica SVM (Support Vector Machine)
con la maximización de la correlación entre la etiqueta de la clase y la denominada función score, vinculada a dicha técnica. El Capítulo 3 también se centra en la clasificación binaria de datos funcionales usando SVM. Sin embargo, en lugar de buscar los instantes de tiempo más relevantes,
aquí se define un ancho de banda funcional para la denominada función kernel. De esta forma, se puede mejorar el rendimiento del clasificador, a la vez que se identifican los diferentes intervalos del dominio de la función, de acuerdo a su capacidad predictiva, mejorando además la interpretabilidad del modelo resultante. La obtención de tales intervalos se lleva a cabo mediante la resolución de un problema de optimización binivel por medio de un algoritmo alternante. El Capítulo 4 se centra en la clasificación de los llamados datos funcionales híbridos, es decir, datos que están formados por variables funcionales y estáticas (constantes a lo largo del tiempo). El objetivo es seleccionar las variables, funcionales o estáticas, que mejor clasifiquen. Para ello, se define un kernel no isotrópico que asocia un parámetro ancho de banda escalar a cada una de las variables. De forma análoga a como se ha hecho en los capítulos anteriores, se propone un algoritmo alternante para resolver el problema de optimización binivel, que permite resolver los parámetros del kernel. El problema de selección de variables presentado en el Capítulo 2 se generaliza al campo de la regresión en el Capítulo 5. El método de resolución combina la técnica denominada SVR (Support Vector Regression) con la minimización de la suma de los
cuadrados de los residuos entre la verdadera variable respuesta y la prevista.
Todos los algoritmos propuestos a lo largo de esta tesis han sido aplicados a bases de datos sintéticas y reales, quedando probada su efectividad.; The goal of this PhD dissertation is to develop new approaches for supervised classification and regression in Functional Data Analysis. articularly, the Mathematical optimization tools analyzed in this thesis exploit the functional nature of the data, leading to novel strategies which may outperform the standard methodologies and link mathematics with real-life applications. Chapter 1 presents the main ideas, challenges and the notation used in this thesis. Chapter 2 addresses the problem of selecting a finite set of time instants which best classify multivariate functional data into two predefined classes. Using, not only the information provided by the function itself but also its high-order derivatives will be crucial to improve the accuracy. To do this, a continuous bilevel optimization problem is solved. Such problem combines the resolution of the well-known technique SVM (Support Vector Machine) with the maximization of the correlation between the class label and the score. Chapter 3 also focuses on the binary classification problem using SVM. However, instead of finding the most important time instants, here we define a functional bandwidth in the so-called kernel function. In this way, accuracy may be improved and the most relevant intervals of the domain of the function, according to their classification ability, are identified, enhancing the interpretability. A bilevel optimization problem is formulated and solved by means of an alternating procedure. Chapter 4 is focused on classifying the so-called hybrid functional data, i.e., data which are formed by functional and static (constant over time) covariates. The goal is to select the features, functional or static, which best classify. An anisotropic kernel which associates a scalar bandwidth to each feature is defined. As in previous chapters, an alternating approach is proposed to solve a bilevel optimization problem. Chapter 5 generalizes the variable selection problem presented in Chapter 2 to regression. The solution approach combines the SVR (Support Vector Regression) problem with the minimization of sum of the squared residuals between the actual and predicted responses. An alternating heuristic is developed to handle such model. All the methodologies presented along this dissertation are tested in synthetic and real data sets, showing their applicability.
2019-02-15T00:00:00ZDevelopment of reduced numeric models to aero-thermal flows in buildings
https://hdl.handle.net/11441/76599
Development of reduced numeric models to aero-thermal flows in buildings
Esta tesis se enmarca dentro de la resoluci_on num_erica de modelos que simulan el
comportamiento de ujos turbulentos mediante t_ecnicas de orden reducido y bajo coste
computacional. En particular, desarrollamos t_ecnicas de bases reducidas que permiten
reducir dr_asticamente el c_alculo de una soluci_on a estos modelos. El objetivo es desarrollar
modelos matem_aticos orientados al dise~no de edi_cios eco-e_cientes, lo que conlleva a la
resoluci_on de modelos complejos donde las inc_ognitas del problema aparecen acopladas. La
modelizaci_on de orden reducido proporciona reducciones de varios _ordenes de magnitud en
el coste computacional de la simulaci_on num_erica de estos procesos y problemas de dise~no,
haciendo cada vez m_as abordable su resoluci_on efectiva en tiempo real. Normalmente los
modelos de orden reducido requieren de cientos de grados de libertad en lugar de millones
como frecuentemente necesita el modelo de orden completo.
En este trabajo consideramos diferentes modelos de complejidad creciente, desarrollando
las t_ecnicas de orden reducido aplicadas a dichos modelos. Realizamos un estudio
de estabilidad para dichos m_etodos num_ericos y se completa con simulaciones num_ericas
que permiten validar los resultados te_oricos obtenidos.
En primer lugar consideramos el modelo de turbulencia para ujos de aire conocido
como modelo de Smagorinsky. Se trata de un modelo b_asico de turbulencia, que corresponde
a las ecuaciones de Navier-Stokes donde la viscosidad es una viscosidad turbulenta,
que matem_atica es una funci_on no lineal de la inc_ognita. Para la aproximaci_on de este
t_ermino utilizamos t_ecnicas de Interpolaci_on Emp__rica, desarrollando un estimador de
error a posteriori de acuerdo con la Teor__a de Brezzi-Rappaz-Raviart. Para este modelo
en su versi_on bidimensional, realizamos distintos test num_ericos obteniendo que el tiempo
de c_alculo para la velocidad del ujo se divide por mil cuando utilizamos t_ecnicas de
orden reducido. A continuacion nos ocupamos de una modi_caci_on del modelo de Smagorinsky
donde consideramos que la viscosidad turbulenta act_ua s_olo sobre las peque~nas
escalas resueltas, y adem_as consideramos una estabilizaci_on local de proyecci_on para el
c_alculo de la presi_on. El considerar esta estabilizaci_on de la presion nos permite evitar
el enriquecimiento del espacio de velocidades para obtener un m_etodo estable. Para este
modelo hemos comprobado num_ericamente que el tiempo de c_alculo se reduce m_as que
en el modelo original de Smagorinsky.
Por _ultimo consideramos un modelo acoplado de tipo Boussinesq obtenido mediante
t_ecnicas de multiescala variacional. El modelo est_a formado por las ecuaciones del modelo
de Smagorinsky junto a la ecuaci_on de la temperatura. Estas ecuaciones est_an acopladas
mediante los t_erminos de otabilidad. El estudio realizado para este modelo se centra
en aplicar t_ecnicas de orden reducido para dos tipos de par_ametros: f__sico y geom_etrico.
El tratamiento para cada uno de estos par_ametros es distinto desde el punto de vista
matem_atico. Para este problema desarrollamos de nuevo un estimador de error a posteriori
y lo validamos mediante simulaciones num_ericas sencillas que representan el estudio del
ujo de aire y la temperatura en habitaciones de geometr__a sencilla.
2018-06-18T00:00:00ZMétodos algebraicos basados en test-sets para optimización lineal entera multiobjetivo
https://hdl.handle.net/11441/72231
Métodos algebraicos basados en test-sets para optimización lineal entera multiobjetivo
En esta memoria se presenta un nuevo método algebraico para resolver de forma exacta problemas de programación multiobjetivo lineal entera para cualquier número de objetivos. Dicho método está basado en el uso de los test-sets asociados a los problemas lineales enteros que surgen con el método tradicional de las restricciones.
En el capítulo 1 mostramos una breve introducción a los problemas multiobjetivo
y a los conceptos principales que aparecen en su estudio, así como algunos métodos clásicos para resolverlos. En el capítulo 2 recordamos los resultados algebraicos que fundamentan el ingrediente algebraico básico en el que se basa nuestro método, los test-sets asociados a un problema lineal entero m__nfcx; s:a:Ax = b; x 2 Nng, que son validos para todo b. Esta característica hace natural el uso de los test-sets para aplicar el método clásico de las restricciones. Los test-sets serán calculados con bases de Grobner respecto de órdenes que, elegidos convenientemente, producen ventajas añadidas.
En el capitulo 3 presentamos los resultados teóricos que sustentan el algoritmo para el caso biobjetivo lineal entero, que calcula todos los puntos no dominados sin resolver ningún problema de un sólo objetivo innecesario y sin producir soluciones debilmente recientes. Además, mostramos una ventaja adicional del uso de los test-sets: en algunas familias de problemas pueden ser calculados teóricamente a priori. Hacemos precisamente esto con un problema de la literatura, el problema BBV. Terminamos con tablas de resultados computacionales con especial interés en el problema de la mochila no acotada.
En el capítulo 4 tratamos el caso de cualquier número de objetivos. Conseguimos un algoritmo que produce todos los puntos no dominados y sólo puntos no dominados, pero sin poder asegurar que no se resolver algún problema de un sólo objetivo innecesario al aplicar el método de las restricciones. Resolvemos un problema de la literatura de tres objetivos en sistemas serie-paralelo y al final de este capítulo mostramos resultados computacionales al tratar el problema de la mochila no acotada para 3, 4 y 5 objetivos.
2017-09-14T00:00:00Z