Quintero Toscano, Antonio RafaelJiménez Morales, Claudia2024-12-192024-12-192024-07-10Jiménez Morales, C. (2024). Espacios finitos como modelos de la homotopía simple. (Trabajo Fin de Grado Inédito). Universidad de Sevilla, Sevilla.https://hdl.handle.net/11441/166002El objetivo de este trabajo es estudiar cómo se representan los tipos de homotopía simple de poliedros en la clase de los espacios nitos, a través de los operadores de McCord. En el proyecto pueden observarse dos partes diferenciadas. La primera parte consta de los Capítulos 1, 2 y 3. A lo largo de los mismos daremos las de - niciones y propiedades generales de la clase de los espacios nitos, estudiaremos su equivalencia con la clase de los posets, estableceremos su relación con los poliedros mediante los operadores de McCord y estudiaremos sus tipos de homotopía y de homotopía débil. Aquí se expone además el problema introductorio: encontrar una noción que en los poliedros re eje las equivalencias de homotopía de los espacios nitos, vía el K-operador de McCord. Una cantidad considerable del contenido de esta primera parte recoge resultados ya expuestos en [4] y [9]. Con este trabajo recopilatorio queremos facilitar la exposición y demostraciones de los principales resultados del proyecto. Además, en esta primera parte ampliamos [4] y [9] con el estudio detallado de algunas construcciones de nuevos espacios nitos a partir de otros, así como el comportamiento de las mismas con respecto al K-operador de McCord y algunos resultados acerca de su contractibilidad. El Capítulo 4 constituye la segunda parte del trabajo, en la cual se exponen los resultados principales del mismo. Comenzamos estudiando la teoría de homotopía simple de poliedros, describiendo las nociones generales y sus propiedades. Posteriormente, introduciremos una noción equivalente a los tipos de homotopía simple en espacios finitos: las clases de reductibilidad. Probaremos que es una noción más débil que la de homotopía y estudiaremos sus propiedades generales, y veremos además algunos resultados acerca de la reductibilidad de las construcciones descritas en la primera parte. Finalizaremos dando una demostración de dicha equivalencia, y aportaremos además algunos ejemplos que ilustran algunos casos de interés.The aim of this project is to study how simple homotopy types of polyhedra can be represented in the class of nite spaces, through the McCord maps. The project is divided into two distinct parts. The rst part consists of Chapters 1, 2, and 3. Throughout these chapters, we will provide the de nitions and general properties of the class of nite spaces, study their equivalence with the class of posets, establish their relationship with polyhedra through the McCord maps, and study their homotopy types and weak homotopy types. Here, the initial problem is exposed: to nd a notion in polyhedra that re ects the homotopy equivalences of nite spaces through the K-McCord map. A considerable part of the contents of these chapters can be found in [4] and [9]. With this extended summary, we intend to ease the reading of the statements and proofs of the main results of the project. In addition, this rst part expands [4] and [9] with some constructions of nite spaces from others, as well as their behavior with respect to the K-McCord map and some results regarding their contractibility. Chapter 4 constitutes the second part of the project, in which the main results are presented. We begin by studying simple homotopy theory of polyhedra, describing the general notions and their properties. Subsequently, we will introduce an equivalent notion to simple homotopy types in nite spaces: the reducibility classes. We will prove that it is a weaker notion than homotopy and study its general properties, as well as some results on the reducibility of the constructions described in the rst part. We will conclude by providing a proof of this equivalence, and additionally, we will provide some examples that illustrate some cases of interest.application/pdf73 p.spaAttribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/bachelorThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccess